logo
Антонов

8.3. Вычисление апостериорной плотности при последовательном накоплении информации

или, подставив вместо А(0/{7Т}) выражение (8.4), получим

/,({71),0)/,({Г.},0)Л(0)

0

Если проводится несколько серий испытаний (например тп), то пос­ле m-vi серии наблюдений выражение для апостериорной плотности бу­дет иметь вид

ft шгм-гг ’■ -гг n

«аиосгf- -- ■ - - - - - ■

J /,((^,}.в)-/т({^т}.в)Ь(0)^0

0

Это означает, что если наблюдения проводятся в несколько этапов, то апостериорное распределение можно вычислять на каждом этапе, беря в качестве априорного распределения для последующего этапа апостериорное распределение, полученное на предыдущем, т.е. оцени­вание можно проводить последовательно. Далее можно сделать сле­дующее заключение: если апостериорное распределение параметра 0 вычисляется в два приема и более, то окончательный результат не за­висит от того, какая выборка получена сначала.

Процесс оценивания параметра 0 теперь может быть описан в сле­дующем виде. В каждый заданный момент времени исследователь располагает вероятностным распределением параметра 0. С течени­ем времени к исследователю поступает информация о 0 в виде стати­стики {Т}, и он использует эту информацию для корректировки распре­деления 0. В те моменты времени, когда исследователю необходимо оценить 0, он применяет процедуру (8.6), (8.7) и получает решение, оп­тимальное относительно распределения 0 в данный текущий момент.

  1. Байесовское оценивание и несобственная плотность распределения

При изложении байесовской процедуры оценивания до настоящего времени предполагалось, что у системного аналитика до проведения исследований над объектами имеется некоторая априорная информа­ция. Процедура оценивания состоит в том, что на основании априорной информации формируется некоторая априорная оценка искомого пара­метра и затем по мере поступления информации эта оценка уточняет­ся.

244

Однако при решении задач системного анализа нередки случаи, когда у исследователя кроме информации, полученной в результате текущих наблюдений, никаких других сведений нет. Известен подход, дающий возможность применять процедуру байесовского оценивания в ситуа­ции полного отсутствия априорной информации, основанный на исполь­зовании несобственной плотности распределения.

Вначале изложим пример из области оценивания характеристик на­дежности. Итак, пусть требуется оценить показатель ВБР. Предполо­жим, что имеется априорная информация о показателе надежности из­делия р, согласно которой данный параметр имеет ^-распределение:

Kp) =Pa-W-р?-\

Текущая информация представлена в виде результатов испытаний группы однотипных объектов, в ходе которых из к испытываемых из­делий m объектов отказало.

Результат испытаний можно записать в виде распределения Бернул­ли:

/ (p,Km) = Cmkpk-m (1-PT- (8.10)

Апостериорное распределение ВБР изделия запишется в виде

a+fc-m-1 /і n\P+m“*

Km(Р/Р)= -Г1 -21 = С(«>P-«• *) Ра+к'Я~' (1 -Р)Р+МЧ’

j (I -pf**-' dp

о

где С( a, Р, т, к)- постоянная, зависящая от параметров а, (3, т, к.

Таким образом, вновь получили ^-распределение с параметрами (а + £-т-1)и(Р + т-1). В выражении (8.10), описывающем резуль­таты текущих исследований, параметры распределения представляют собой т - количество отказавших изделий и (к-т)- количество изде­лий, испытания которых прошли успешно. По аналогии с этим можно интерпретировать априорное распределение как эквивалент наблюде­ний выборки объема a + Р, в которой P элементов отказало за время проведения исследований и а элементов прошло испытания успешно. После того, как провели такую аналогию, естественно при полном от­сутствии априорной информации логично положить значения а и P рав­ными нулю, т.е. априорное распределение должно быть эквивалентно рассмотрению выборки объема 0, в которой 0 элементов отказало.

При этом апостериорное распределение примет вид

йа„осТ(р/а = 0Я = 0) = С(к,т) рк~т-' (l-p)"-1.

Оценки параметра ВБР и дисперсии оценки ВБР будут равны

Апостериорная плотность распределения будет определяться сле­дующим образом:

(т.

ехр

25

IS2O2

2а

\2

S'ma + Cmr S2+O2

( S1Vit+Q2тт S2 +O2

+ Ь.

0-

2 S-O-

- ,, W, 2 (к-т)т (1-р)

р = (к-т)/к; <Г =-Ц ^

' к2(к +1) к+1

т.е. получили результат, состоящий в том, что апостериорные среднее и дисперсия оказываются зависящими только от текущей информации.

Способ, с помощью которого произвели оценивание показателя ВБР при полном отсутствии априорной информации, формально дает прием­лемый результат. Единственное затруднение, которое возникает при этом, заключается в том, что, если а и (3 приравнять нулю, то получа­ется априорная плотность, не удовлетворяющая условиям нормировки. А именно интеграл от этой плотности по всей области определения может оказаться равным бесконечности, независимо от выбора масштабного множителя.

Функцию с параметрами а и (3, одновременно обращающимися в нуль, называют несобственной функцией.

Приведем другой пример оценивания показателей надежности. Не­обходимо оценить наработку на отказ механических элементов. Изве­стно, что наработки объектов с механическими компонентами хорошо описываются гауссовским законом распределения. Пусть имеется ап­риорная информация о параметре наработки на отказ в виде априорной плотности распределения

=—

2ійа//(9,{т;}Ж9)</9 Преобразуем показатель степени у экспоненты. Для этого приба­вим И ВЫЧТеМ ВеЛИЧИНу ^a l mT ) .

IS2

Перегруппировывая члены, получаем

(mr - 9)2 (9 - та )2 _5W

2 2а2

S2 +о2

+ Ь = -

25

V

V

(S2ma +C2mT)2

С mT + 5 ma

і -9)2 , (9-та)2

S1+а

ґ (9-m,)2^ 2а2

h(B) = —==— ехр

Jlna

Апостериорное распределение для 0 можно записать теперь в виде

S2m. + O2Inr \ / 25 а

Kn^(QIiTi)) = A™ P

S2+G2

S2+O2

Так как, согласно условию нормировки, интеграл по области определе­ния параметра 0 должен равняться 1, то

(тт - 8)2 IS2

где C2 - дисперсия априорной оценки наработки на отказ та.

Текущая информация представлена в виде наработок объектов до отказа Tv Tv ..., Tk. Функция правдоподобия в данном случае

/(0,(7;}) = -i- ехр JlnS

где S1 - дисперсия наработки на отказ, определенная на основании те­кущей информации, а именно

Vr J(Ti-Mr)

Zrf , S2 =i=i ^

т'=~Г' (к-Dk

^lnS2G2/(S2+ О2)

Отсюда видно, что апостериорная оценка наработки на отказ будет оп­ределяться по формуле

- S2m3+a2mT

Дисперсия оценки определяется из выражения

D(0):

S2O2 S2 +а2

(9-/Wt)2

IS2

Естественно положить, что чем меньше у наблюдателя сведений об априорной оценке ть, тем больше дисперсия C2, так как она характе­ризует степень неопределенности в оценивании данного параметра. Отсутствие априорной информации равнозначно абсолютной неопреде­ленности в априорной оценке тл. Устремив о2 к бесконечности, полу­чим, что апостериорное распределение преобразуется к виду

^anocr (б /[Ti })02_^ = -J==^ ЄХР

Иными словами, апостериорное распределение зависит исключи­тельно от информации, полученной на этапе текущих исследований.

В данном случае априорная плотность распределения с бесконеч­ной дисперсией так же, как и в примере с (5-распределением, является несобственной плотностью распределения.

С вводом понятия несобственной плотности распределения получен формальный метод оценивания вероятностных характеристик сложных систем в случае полного отсутствия априорной информации. В основе метода, как и прежде, лежит байесовский подход.

Таким образом, при отсутствии априорной информации на первом этапе оценивания можно воспользоваться несобственной функцией и получить оценки искомых параметров, а затем, воспользовавшись мо­делью последовательного накопления информации, изложенной в п. 8.3, получать все более точные значения оцениваемого показателя. Данный подход особенно актуален в условиях автоматизированного анализа характеристик надежности, когда большое значение имеет единообра­зие методик расчета.