Антонов

Сопряженные распределения

Будем считать, что выборку случайных величин можно описать функцией распределения, параметры которой обладают свойствами достаточной статистики. Для рассматриваемого случая сформулирован вывод, согласно которому объем выборки не влияет на размерность достаточной статистики. Другими словами, если для выборки [T_v T₂,..., TJ получена статистика M(T), то при увеличении объема наблюдений свойства достаточной статистики не изменяются; изменения объема приведут только к изменению абсолютного значения величины M(T). Распределения, оценки параметров которых выражаются через достаточные статистики, обладают следующим свойством. Если априорное распределение параметра 0 принадлежит некоторому семейству распределений, то при любых значениях наблюдений в выборке и при любом объеме выборки апостериорное распределение параметра 0 должно также принадлежать этому семейству. Семейство распределений с этим свойством называют сопряженным семейством распределений ввиду особой связи, которая должна существовать между семейством распределений параметра 0 и семейством распределений наблюдений t. Таким образом, когда существует достаточная статистика фиксированной размерности, у исследователя, занимающегося анализом надежности, появляется возможность работать только с априорными и апостериорными распределениями из сравнительно узкого семейства сопряженных распределений.

Проанализируем примеры, изложенные в п. 8.4.

Результат испытаний группы однотипных объектов, в ходе которых из к испытываемых объектов отказало т, описывается распределением Бернулли

/(р,к,м)= С”р^к~^т(1- р)^т.

Апостериорная плотность в этом случае имеет вид

;ча_а+ла-1

0^а

Предположим, что априорное распределение параметра р есть (3-рас - пределение:

ад-СмР^аЧ(1-р)^м.

Тогда апостериорное распределение параметра р будет иметь вид

K_m(Р/Р) = P^k^^a-' (I- P)^m+Si-', (8.12)

где р - оценка параметра р.

Таким образом, из (8.12) видно, что апостериорное распределение параметра;? есть (3-распределение с параметрами (т + (3) и (к- т + а). Иными словами получен следующий результат: семейство (3-распределений и семейство распределений Бернулли являются семействами сопряженных распределений.

Если случайная выборка T_v T₂, ..., T_n есть выборка из нормального распределения с неизвестным значением среднего т и заданной дисперсией о² и априорное распределение т - нормальное, то апостериорное распределение т также нормальное распределение. То есть, произведя оценивание параметра математического ожидания нормально распределенной выборки случайных величин получаем, что априорное и апостериорное распределения оцениваемой величины принадлежат классу нормальных распределений.
Рассмотрим семейство Г-распределений. Пусть случайная выборка T_v T₂, ..., T_n есть выборка из Г-распределения с неизвестным значением параметра масштаба X и известным параметром формы а:

_/(,0_>а) = ^ех_Р(-0г).

Г(а)

Пусть априорное распределение X также относится к классу гам- ма-распределений:

^ (Q) = ехр(-А._а9).

Тогда можно определить апостериорную плотность распределения параметра X. Определим вначале совместную плотность распределения результатов наблюдений:

^/<K);0'^a)=?Sof“^p(-^e^^7:

Г п Л

-0

V ^І=1 )

)

Г(а_а + па)

ехр

т.е. получили, что априорное и апостериорное распределения принадлежат к классу гамма-распределений.

Пусть Q_v Q₂, ..., Q_n- выборка дискретных случайных величин из распределения Пуассона с неизвестным значением среднего q. Тогда совместную плотность результатов наблюдения можно записать в виде

f(q,q) = ⁽Щ_Гехр (-kq),

где т = XG₁-

I=I

Предположим, что априорное распределение параметра q есть гам- ма-распределение с параметрами А, и а:

h (q,X, а) = —ехр(-А,#).

’ Г(А.) ^v ’

Определим апостериорную плотность распределения параметра q:

«Г-¹ ехр (-д(Х+к))

а„ос Я q jy_+m4 0

где 0 - область определения параметра q. Если q представляет собой вероятностную характеристику, например, вероятность отказа, то © = [0,1].

Получен следующий результат: распределение Пуассона и Г-рас- пределение являются сопряженными распределениями.

Исследование сопряженности распределений позволяет обоснованно подходить к выбору априорной плотности распределения оцениваемого параметра. Если из практики наблюдения за функционированием объекта на этапе текущих исследований удалось восстановить плотность распределения наблюдаемой случайной величины, то при наличии априорной информации априорную плотность распределения оцениваемого параметра следует выбирать из класса сопряженных распределений к плотности распределения наблюдаемой величины.

(8.13)

Формирование априорной плотности распределения оцениваемого параметра

Подведем некоторые итоги, касающиеся применимости байесовских методов. Во-первых, в п. 8.2 представлена процедура формирования обобщенной вероятностной плотности, учитывающей текущую информацию. Решение этой задачи не представляет трудности. Во-вто- рых, сформулирована методика, позволяющая применять байесовский подход, основанная на использовании в качестве априорной плотности несобственной плотности распределения.

В общем случае задание априорной плотности распределения - сложная задача. Развитие байесовских методов исторически связано с использованием в качестве априорной информации мнения лица, принимающего решение. В примерах пп. 8.1 и 8.2 априорная информация формировалась на основании суждения исследователя, проводящего системный анализ. Вероятность, сформированная на основании учета мнения одного или нескольких экспертов по проблеме, относительно которой принимается решение, называется субъективной вероятностью. В простейшем случае субъективная вероятность отражает мнение одного лица. Так, в примере п. 8.1 заказчик с вероятностью р, оценил истинность заявления завода-изготовителя, которое состояло в том, что ВБР изделия в течение требуемого времени не хуже, чем р_з_и, а с вероятностью P₂ заявление предприятия, имеющего опыт эксплуатации аналогичных объектов и утверждавшего, что ВБР изделия ниже требуемого уровня.

Использовать субъективные вероятности для формирования априорной плотности распределения целесообразно в задачах принятия решения. В задачах же оценивания характеристик сложных систем необходима методика, позволяющая учитывать объективную информацию о функционировании объектов.

В качестве такой методики можно предложить следующий подход. Пусть имеются результаты эксплуатации или испытаний объектов-аналогов на различных установках. Результаты каждой серии испытаний

представлены в виде некоторой статистики [T₁ , i_m = 1, к_т}, где T_i реализация наблюдаемой случайной величины г-го объекта в т-и испытании. Предполагается, что закон распределения случайной величины T известен. Необходимо оценить некоторый параметр 0, связанный с Т.

Методика решения задачи будет заключаться в следующем. Поскольку необходимо пользоваться только объективными данными о функционировании объектов, то на первом шаге выберем в качестве априорной плотности распределения параметра 0 несобственную априорную плотность распределения. Вид плотности целесообразно выбирать из класса сопряженных распределений. Такой выбор вида априорной плотности обеспечит удобство работы в ходе байесовского оценивания. Однако это требование не является обязательным. Позднее будет показано, что при увеличении объема информации о наблюдаемом процессе или явлении влияние вида априорной плотности на конечный результат оценивания сказывается все меньше и меньше.

Пример. Пусть случайная величина Tраспределена по нормальному закону с известным параметром среднего квадратического отклонения и неизвестным математическим ожиданием, которое и требуется оценить. Возьмем на первом шаге в качестве априорной плотности несобственное распределение из класса нормальных распределений с параметрами т - 0 и а —» °°, как это сделано в п. 8.4. После подстановки априорной плотности и функции правдоподобия в формулу Байеса получим апостериорное распределение в виде

(Є-т_т)^:

IS²

где т и S - оценки математического ожидания и среднего квадрати

ческого отклонения, полученные по одной из выборок {7; , і =1, к_т}- Методика получения приведенного результата изложена в п. 8.4. На следующем шаге объединения информации апостериорная плотность

принимается в качестве априорной по отношению к следующей выборке. В п. 8.3 было показано, как производить учет последовательно накапливаемой информации. Там же отмечено, что окончательный результат оценивания не зависит от того, какая выборка получена сначала. На основании изложенных до настоящего момента методов сформулируем методику применения байесовских процедур в задачах оценивания показателей сложных систем, закладываемых при составлении моделей.

Определяется вид закона распределения наблюдаемой случайной величины, характеризующей функционирование объекта системного исследования.
Из класса сопряженных к сформированной плотности распределения определяется вид априорной плотности.
В качестве априорной плотности распределения принимается несобственная плотность вида, установленного на этапе 2.
Результаты наблюдений, полученные на этапе априорных и текущих исследований, приводятся к схеме последовательного накопления

информации. На основании информации, полученной на первом этапе наблюдений, формируется функция правдоподобия и по формуле (8.4) определяется апостериорная плотность. В качестве априорной плотности используется несобственная плотность из класса сопряженных распределений, а в качестве функции правдоподобия - функция, сформированная на основании информации, полученной на первом этапе наблюдений.

Формируется функция правдоподобия на основании текущей информации (второй этап наблюдений). Определяется апостериорная плотность распределения, в которой в качестве априорной плотности используется апостериорная, полученная на этапе 4, в качестве функции правдоподобия - функция, сформированная на основании информации второго этапа наблюдений.
На основании апостериорной плотности определяются байесовская оценка параметра (8.6) и точность в определении байесовской оценки (8-⁷)-
При поступлении новой информации о функционировании объекта '^исследования заново строится функция правдоподобия и определяется

T--M(T)

апостериорная плотность, где в качестве априорной плотности используется апостериорная плотность, полученная на этапе 5. Затем вновь выполняется этап 6.

Другой метод формирования априорной плотности распределения, основанный на использовании реальной информации о функционировании объектов, впервые был изложен в [42]. Для обоснованного применения предлагаемого метода необходимо сделать одно предположение, которое заключается в следующем: вектор параметров 0 заменяем вектором оценок 0 и работаем в дальнейшем с оценками параметров 0. В этом случае вектор представляет собой случайный вектор и может идти речь об определении его плотности распределения статистическими методами. Такая замена вектора параметров 0 вектором оценок 0является основным элементом эмпирического байесовского подхода. Это предположение уже использовалось при изложении метода байесовского оценивания, когда в качестве априорной плотности распределения оцениваемого параметра использовалось несобственное распределение. В этом методе после однократного применения формулы Байеса получают плотность распределения параметра 0, которая строится

исключительно по результатам выборки [T₁, і = 1, к}. По своей сути построенная таким образом плотность представляет собой не что иное, как плотность распределения оценки вектора параметров 0. На следующем шаге >^чета информации апостериорную плотность, полученную на предыдущем этапе, берем в качестве априорной. Таким образом, после каждого применения теоремы Байеса получается плотность распределения оценки, учитывающая вновь поступающую информацию.

Итак, под априорной плотностью распределения будем понимать плотность распределения оценки 0, полученную на предварительном этапе системных исследований.

Изложим метод восстановления априорной плотности оцениваемого параметра применительно к следующей схеме наблюдений. В результате проведения эксперимента наблюдается последовательность

{7^, G₁}, (T₂, Q₂},... независимых случайных чисел. После л-го наблюдения T оценивается параметр 0. Поскольку 0¾.-, 0„_i порождены тем же самым априорным распределением, что и 0_п, то 0,,-, 0„_i содержат также некоторую информацию о 0_и. Поэтому оценку 0_п будем искать

как функцию от случайных величин {f„;f_p...,f_n4}. Основываясь на этих данных, можно получить плотность распределения оценки 0_п. Эту процедуру можно провести, например, когда оценки 0_п выражаются через

л²

статистику M(T) = Jf_i или статистику D(T) = J |=1 ^і=1 ~

реализации сл учайной величины t, зафиксированные на этапе априорных исследований.

Рассмотрим метод определения плотности распределения й(0) по известной плотности распределения наработки до отказа/(0, t) в случае, когда параметр закона распределения выражается через достаточ-

ную статистику M(T) = Jf_i . При переходе от плотности распределения наработки до отказа/(0, t) случайной величины t к априорной плотности й(0) воспользуемся аппаратом характеристических функций.

Пусть ф_т(у) - характеристическая функция случайной величины t, имеющей плотность распределения / (0, t). Известно, что характеристическая функция суммы случайных величин M(T) в случае, когда все T₁ имеют одну и ту же плотность распределения / (0, і), определяется из соотношения

Ф„(з’) = {Фт(з’)Г.

Применяя к данному выражению обратное фурье-преобразование, получаем плотность распределения случайной величины £, = M(T). Если параметр закона распределения 0 выражается через статистику M(T), то в этом случае легко перейти от плотности распределения/^) к плотности й(0), а именно:

257

, где T_i

а^а-1

Г(а)

P (-Xr).

(8.15)

-exi

определя-

(8.16)

X-

й(Є) = */„(£),

где R = ^/0.

Проиллюстрируем возможности применения данного метода определения априорной плотности на примере оценивания параметра масштаба X гамма-распределения Г(Г, X, а). Будем считать, что параметр формы а известен. Ha первом этапе необходимо определить априорную плотность h_x(Q) распределения параметра X. Выразим неизвестный параметр через достаточную статистику M(T). Известно, что для гамма-распределения выполняются следующие соотношения [30]:

м(о = £; т=£; м(t)=-M(T); D(t)=—D(T).

Kk п п—\

Из этих соотношений можно получить X=M(t)/D(t). Раскрываем знак математического ожидания, а дисперсию заменяем ее оценкой S¹, в результате получаем

X = ^_r = Q. (8.14)

Все случайные величины T_j имеют одну и ту же плотность распределения

Г(г,аД) =

Характеристическая функция случайной величины t получается путем применения к плотности (8.15) преобразования Фурье и имеет вид

9,00 =

-гу

Характеристическая функция случайной величины X_i равной сумме п

одинаково распределенных случайных величин ется из соотношения

Ф,(У) =

Применяя обратное фурье-преобразование к (8.16), получаем плотность распределения случайной величины х:

(tna

f(x) = X^naехр (-Xx).

Г(ла) ^к¹

Перейдем от плотности случайной величины х к плотности случайной величины 0. Из (8.14) получаем* = nS¹®. Для случайных величин, связанных друг с другом функционально, возможно перейти от плотности распределения одной из них к плотности распределения другой [32]. Получаем, что априорная плотность распределения параметра 0 имеет вид

ft па

h (0) = — _ns² (и5²0)"“^-| ехр(-Хи5²0). (8.17)

Г (па)

Рассмотрим методику определения априорной плотности параметра закона распределения в случае, когда этот параметр выражается

^п (- і Y

через статистику D(T) = J ^rT_l--M(T) . Произведем замену перемен-

/=1 V_i ^п J

ных г = [г - M(T)]². Величина г всегда неотрицательна, и при г > 0 соотношение r<R эквивалентно соотношению -Jr < t < -Jr ; без ограничения общности считаем M(t)~0. Если это условие не выполняется, то в

качестве t можно использовать величину t = [г-М(г)]. Тогда случайная величина г будет иметь функцию распределения

[0, г <0;

^С(Г)_ (F(Vr)--F(-Vr), г>0.

где F(t) - функция распределения случайной величины t.

Если плотность вероятности/(t) = F'(t) существует для всех t, то г имеет плотность вероятности

0 при г < 0;

^(8Л8)

Далее методика определения априорной плотности аналогична методике, когда параметр выражается через статистику M(T). Статистика D(T) выражается через сумму случайных величин R_j с известной плотностью распределения g(r). Следовательно, для определения плотности распределения величины D(T) можно также воспользоваться аппаратом характеристических функций.

(8.19)

8(г)~-

Л ]_

dr = (l-2iy)\

при г > 0;

Применение данного метода рассмотрим на примере оценивания параметра O² нормального закона распределения. Пусть требуется оценить дисперсию нормального закона распределения O² при известном значении математического ожидания т.

На первом этапе оценивания плотности А_о(0) положим 0=1. Тогда, согласно формуле (8.18), плотность случайной величины г будет иметь

RWTT

О при t < 0;

^ехр(~~ I при t > 0.

гг

Соответствующая этой функции плотности характеристическая функция равна

Jexp(Or)-L- ехр

о у/2кг

Каждая величина г имеет характеристическую функцию (1 - 2іу)~^иг, следовательно, их сумма имеет характеристическую функцию

Ф_в OO = (1-200-⁷².

Соответствующая плотность распределения будет иметь вид

7Г\ ^г2 ' ^expf^Г

2”/²р

О при г < 0.

Если среднее квадратическое отклонение не равно 1, а есть конечная

величина S², то плотность распределения суммы ^ имеет вид

К (г) =

п — 1 "^ч *

Рассмотренные два случая определения априорной плотности параметров законов распределения (параметра X гамма-распределения, а также т и о² нормального закона) охватывают широкий класс распределений и имеют большое прикладное значение в задачах системного анализа.

Изложенный метод применим лишь в тех случаях, когда оценка искомого параметра выражается через достаточную статистику. Например, при оценивании параметров распределения Вейбулла данный метод не применим. Однако преимущество данного метода по сравнению с методом, основанным на использовании в качестве априорной плотности распределения несобственного распределения, заключается в том, что он не требует знания вида сопряженного распределения. Этот метод может быть использован для установления вида сопряженных распределений.

В заключение данного параграфа приведем теорему Бернштейна- Мизеса в той формулировке, которая дана в [41]:

«Если априорная плотность распределения параметра 0 непрерывна, то по мере возрастания числа наблюдений апостериорное распределение, задаваемое формулой Байеса, стремится к пределу, не зависящему от априорного распределения». Согласно этой теореме, при оценивании параметра 0 при достаточно большом объеме наблюдений выбор вида априорной плотности распределения не имеет существенного значения. Однако заметим, что при малом числе наблюдений желательно в качестве априорной плотности использовать плотность из класса сопряженных распределений. Такой выбор вида априорной плотности гарантирует относительную простоту процедуры оценивания.

Г¹

г² ехр

-К

с²

/ Л г

~2SI

!"ⁱ²S²F

Отсюда получаем, что случайная величина z = по²/S² имеет распределение X² с (я — 1) степенями свободы: S² - априорная оценка дисперсии. Считая о² случайной величиной и полагая G_n = о², получаем

Оценивание параметров нормального закона распределения

При решении задач системного анализа на основании наблюдений за случайной величиной, распределенной по нормальному закону, возможны следующие ситуации:

известно значение математического ожидания и среднего квадратического отклонения;

/_га(0,т_а,5)^:

-ехр

(8.20)

= й(9).

-ехр

JbiS_r

ехр

2ст²

/(9 AT_i)) =

ехр

известно значение среднего квадратического отклонения, требуется оценить математическое ожидание;
известно значение математического ожидания, требуется оценить среднее квадратическое отклонение;
оценивается и среднее квадратическое отклонение, и математическое ожидание.

Случай 1. Тривиален, поскольку о параметрах распределения все известно.

Случай 2. Пусть в результате системных исследований группы

однотипных объектов зафиксирована выборка {Г.}, ; = ijfc, где T_j - параметр, характеризующий исследуемый показатель сложной системы или анализируемого объекта. Исследователь располагает априорной информацией об анализируемом параметре объекта, однотипного с исследуемыми. Пусть (7\}, j = і, п - выборка, зафиксированная на этапе априорных исследований. Будем считать, что случайные величины

Т. и f . имеют одну и ту же функцию распределения, т.е. априорная и текущая информации однородны. В данном случае функция распределения нормальна и ее плотность имеет вид

Основываясь на результатах априорных исследований, определим вид априорной плотности распределения параметра т. Характеристическая

функция каждой величины г. равна

ФтСУ) = ^expj^_ai;y-^sy .

Характеристическую функцию суммы п независимых случайных величин определяем из соотношения

f_N(t\m,a) =

Jliia

Данную плотность распределения примем в качестве априорной плотности распределения оцениваемого параметра, так как эта плотность построена на основании априорной информации об анализируемом

параметре объекта.

Определим апостериорную плотность распределения оцениваемого параметра. Функция правдоподобия формируется на основании текущей информации и в случае нормального распределения случайной величины, характеризующей исследуемый показатель, она имеет вид

Величина S²In представляет собой дисперсию оценки параметра математического ожидания. Обозначим ее через S¹_m. Таким образом, получаем, что оценка математического ожидания имеет нормальное распределение:

Согласно формуле Байеса апостериорная плотность распределения

ехр(-а)

Перейдем к переменной 0 = —, получим распределение математичес-

кого ожидания:

*-J/(9,{r,})ft(9) с/9

' (9-т_а)²"

IS¹In V ' /

^f (9-m_T)V Ial

Ґ / А ^Л ч2

(9-т.)

ISi

Jlna_r

ItzS¹O¹

пк

Фм (у) = ехр

HmJy--S² у²

Тогда плотность распределения суммы независимых случайных величин будет иметь вид

к(т_г -0)² (0- т_а)²п

где a = + | .

2а² IS¹

Преобразуем данное выражение, приведя его к общему знаменателю и раскрывая скобки, получаем

ехр

JliznS

(*- т_ап) InS²

где b =

(nal + kS² V)

^hMocr(PIiT_i)) = ^А ехр

.2 с 2

2oiS

2(пс² + kS²)/kn

Апостериорное распределение для 9 можно записать теперь в виде

по] w_a +kS²m_T по² +IcS²

(т_т -тя_а)²

сти по сравнению с результатом, получаемым только на основании текущей информации.

Случай 3. Значение математического ожидания известно, требуется оценить дисперсию распределения. Как было показано в п. 8.7, априорная плотность распределения оцениваемого параметра выражается формулой (8.19). Функция правдоподобия в этом случае имеет вид

^/ кВ ^Л

A =

Так как интеграл от этого выражения по области определения параметра 8 должен равняться единице, т.е. должно соблюдаться условие нормировки, то

Jnol +^² -s/2nSo_T

Л *

/„(ЄД7;}) = (270^0* ехр

о²

Подставляя выражение для априорной плотности (8.19) и функции правдоподобия в формулу Байеса (8.4), получаем

H_al(Q)ZA^iT_i))

Отсюда видно, что апостериорное распределение математического ожидания случайной величины также является нормальным. При этом байесовская оценка параметра 9 определяется выражением

, _na²_rm_a+kS²m_T

по: +kS²

]мв)/*(0,{дае

Вычислим интеграл, входящий в данное выражение

7 ⁿI^sI(2кр

k+п-З

xj0 ²

\dQ-

-~(n/sl+k/o²_T)

^ЄХР

. (8.21)

0 ² ехр

к + п-1

_2 с*2

С2 _

по] + kS¹

Определим выигрыш в точности байесовской оценки математического ожидания по сравнению с оценкой этого параметра на основании только лишь текущей информации. Понятие выигрыша в точности показывает, во сколько раз байесовская оценка точнее оценки, полученной только лишь на основании текущей информации. Выигрыш в точности определяется из соотношения

Ti = £>{0_т}/D{0₆}- В рассматриваемом случае получаем

точность в определении оценки

Подставив вычисленное значение интеграла в выражение для апостериорной плотности распределения параметра 9, получим

n-l

і+л-1

( Л-П

п-1

?Т

(п/Si +к/O²_r ]

■ 2

I ² ,

К+П — 1

(nisi +t/cjp^- .__f CiⁿI^sI +к/о:

K^(QfiT_l)) =

'п-П . 2 ,

(8.22)

Q = O²S,

Sl_i olnol+kS² по² ,

Ц = ~ = ~—^т, , =—f+1.

S² к O²S² kS

W₆ T

Таким образом, получен следующий результат: использование априорной информации при оценивании математического ожидания нормального закона распределения всегда приводит к выигрышу в точно- 264

Определим байесовскую оценку параметра 9. Подставим выражение (8.21) в (8.6). Результат вычисления имеет вид

.2 ,2ino²_T+kSl к + п-1

Точность байесовской оценки в определении параметра 9 получим подстановкой (8.21) в (8.7):

/ 2(к + п-\)

Байесовская оценка параметра о² имеет вид

_2 _с2

6² = •

⁶ пет*+*: S_a²

к+п-1

Таким образом, получили байесовскую оценку параметра а² нормального закона распределения.

Случай 4. Значения математического ожидания и дисперсии неизвестны.

Определим совместную плотность распределения параметров нормального закона h(0,, 0₂), где O₁ = т, G₂ = а².

Так как параметры G₁ и G₂ независимы, можно записать

Л(0_р0₁) = А₁(0₁)А₂(0₂).

Априорная плотность распределения параметра G₂ описывается выра жением (8.19). Априорная плотность распределения параметра G₁ име ет вид (8.20), но так как значение диспепсии по условию нйи^пяптнп т/ априорная

Вьфажения для определения исходных параметров можно получить в виде

J0, ехр -^—-(к(т_Т -0,)² +n(m_a -9,)²)

¢/0,

0,=-

C₁

] 0₂² ехр —-(кОІ + п+ к (т_Т — Q₁)² +п(т_л -0,)²)

IdQ,

O₂=:

где C₁ и C₂ - некоторые нормирующие константы.

Опустив промежуточные выкладки, приведем конечный результат для оценок параметров нормального распределения:

(п + к-1) CT²A²

0 _кт_Т+пт₁₁ . ₌

¹ к + п ’ ² к O² + п S² + к (M_r-Q_i)² + п(т_а — 9,)²

Таким образом получили простую систему уравнений для определения неизвестных параметров нормального закона распределения.

В заключение данного параграфа рассмотрим методику оценивания моментов логарифмически нормального закона распределения. Напомним, что случайная величина t подчиняется логарифмически нормальному закону распределения, если ее логарифм г=1пґ распределен нормально. Для получения байесовских оценок моментов m_L и C_i логарифмически нормального закона необходимо от случайных величин t перейти к случайным величинам z: z~ 1пГ.. Далее, используя формулы для байесовского оценивания параметров нормального закона распределения, находим оценки параметров m_z и O₂. Затем по соотношениям

,ппет vo. і у), шарнирная плотность распределения параметра Ь, име- вид (8.20), но так как значение дисперсии по условию неизвестно, то риорная плотность параметра G₁ запишется следующим образом:

n(m_a -9,) O₂^ (8 23)

' V * )

Функция правдоподобия в данном случае определяется по формуле

.2\

; CT² = [ехр (ст²) -1J ехр (2т_z +CT²)

/(Є„Є₂Д7І}) = (2тср Ofexp

т. +-

m_L = ехр

(8.24)

к*)

После подстановки выражений (8.19), (8.23) и (8.24) в формулу Байеса и проведения элементарных преобразований апостериорная плотность распределения производим обратный переход к оценкам логарифмически нормального закона распределения.

t+и-І {

0, ² ехр

Л„^(в,-в₂ /{7Т}) =

-y(fc<^ + nS² +I_i(W_r-Q_l)² +n(m_a -0,)²)

kve₂

j J⁰₂ ² ехр( ~~{к0²_Т + nS² +k(m_T -9,)² +п(т_г -0,)²)

Содержание