Глава 3 построение моделей систем 53

3.1.Понятие модели системы 53

3.2.Способы описания систем Модель черного ящика 54

3.3.Анализ и синтез - методы исследования систем 60

Глава 4 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - МЕТОД ПРОВЕДЕНИЯ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ 67

Глава 5 75

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ - МЕТОДОЛОГИЯ ОБОСНОВАНИЯ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ 75

[р,:і=ша'[лр'[м]\ 80

[c]=[Mf[Lfm\ 80

7С, = : : 81

7С, = 81

р. 85

шр = J Ч(к^к 85

°р = J K2Zp(K)^K-Wp2, 85

ZprCO= JJ /, (*,)/2 (f2Vfc1A1 = 86

Глава 6 92

ЭКСПЕРИМЕНТ - СРЕДСТВО ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ 92

Глава 7 110

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ 110

1Lt, 128

Ь, = (в, Ґ 138

мм>.го>=П[ j*-JШГ 152

^,B)= ртам, 170

J p*~m+I(l-p)mdp 175

J pk-m(l-p)mdp 175

т{т'у>’шга«~кг‘щцтг- 210

241

AJ 241

=0=8= - A 280

8^==8 •■• ^8 - *8= •■ 284

Определение данных параметров может быть осуществлено путем численного интегрирования.

He перегружая в дальнейшем материал формулами, отметим, что в случае, когда у исследователя имеется информация, содержащая данные, цензурированные слева или интервалом, необходимо восполь­зоваться соответствующей функцией правдоподобия, приведенной в гл. 7. Далее функцию правдоподобия, учитывающую цензурированную информацию, подставляют в выражение для апостериорной плотности распределения и на основании ее получают оценки параметров законов распределения и вычисляют точность в определении данных парамет­ров.

10. Байесовское оценивание вероятностных показателей сложных систем

До настоящего времени были изложены задачи оценивания, касаю­щиеся определения значений параметров того или иного закона распре­деления случайной величины. Зная вид закона распределения и оценив его параметры, можно перейти к определению вероятностных показа­телей сложных систем.

Так, например, если в качестве наблюдаемой случайной величины рассматривается наработка до отказа, то, определив закон распреде­ления наработки, можно вычислить характеристики надежности, напри­мер, наработку на отказ:

T_cp=]tf(t,e)dt;

О

вероятность безотказной работы объекта за время Г

P(T_p) = I-J f(t,Q)df,

О

интенсивность отказа

X(t,Q)=f(t,Q)/F(t,Q) и ряд других характеристик.

Однако при решении задач системного анализа встречаются слу­чаи, когда можно произвести оценивание тех или иных вероятностных характеристик объектов системного анализа, не определяя вид и пара­метры закона распределения наработки до отказа. Проиллюстрируем 272 возможность решения такого рода задач на примере оценивания пока­зателей надежности.

Рассмотрим некоторые из этих задач.

1. При эксплуатации высоконадежных систем и устройств имеют место ситуации, когда априорная информация представлена в виде оцен­ки ВБР устройства за время T_p -р_г (T_p), известен доверительный интер­вал (р_н,р_в) с доверительной вероятностьюр=Р(р_и< р <р_з), здесьр_и и р_в - соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интер­вала. Информация в таком виде почти всегда присутствует в паспор­тах и технических условиях на устройства и системы.

Пусть текущая информация получена в результате проведения не­которого числа испытаний к, при которых зафиксировано т отказов. На основании теоремы Байеса можно произвести оценивание ВБР с уче­том априорной и текущей информации.

Будем считать, что искомая характеристика надежности р - слу­чайная величина. Предположим, что известна априорная плотность распределения h(p). По результатам текущих исследований определя­ем плотность f(p,p). Здесь f(p,p) - совместная плотность распреде­ления опытного значения искомого показателя надежности и истинного его значения, равного р.

Формула Байеса в данном случае будет иметь вид

h(p) f(p,p)

Kocr(P^fP) = I •

Jh(p) f(p,p)dp

О

Тогда байесовская оценка ВБР может быть получена методом момен­тов

Рв =JManocr (p/p)dp, (8.28)

о

а точность в определении байесовской оценки

= JpKnocr(P^fP)^dP-Pl • (⁸-²⁹)

о

Описана достаточно общая формулировка задачи оценивания ВБР при наличии априорной информации, заданной в виде доверительного интервала. Перейдем к рассмотрению частных случаев оценивания.

2. Постановка задачи. Пусть априорная информация задана в виде доверительного интервала (р_и, р) с известной доверительной вероят- 18 — 4355 2 73

' ^сРш+крАI ^с+к

(8.32)

с + к

P_a

' [I. t,>T_t,

и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом п ее закон распределения близок к нормальному. На практике [32] даже при относительно небольшом числе слагаемых (примерно 10 - 20) за­кон распределения суммы можно приближенно считать нормальным. Итак, будем считать, что величина р имеет нормальный закон распре­деления. Априорную плотность распределения запишем в виде

к(р) = п(р_г,а\,р), (8.30)

іде р_л и а? - среднее значение ВБР и среднее квадратическое откло­нение.

Пусть в результате текущих наблюдений зафиксирована выборка (P_vP_v •••’ Pd

|0, если за время T_p объект отказал;

^Р‘ {1, если отказа не было.

В условиях, рассматриваемых в данном пункте, случайная величина р m раз приняла значение 0 и к- m раз значение 1. Среднее значение этой

1. ^k

выборки равно р_т = -Y P_i и является нормально распределенной слу- к “Г

чайной величиной. Для любого фиксированного значения математичес­кого ожидания величины р функция правдоподобия при реализовавшемся среднем значении р_т будет выражаться в виде

⁽ ,. O²_p. '

^Р’*’Т

ч /

Применяя теорему Байеса и подставляя в нее выражения (8.30) и (8.31), получаем апостериорное распределение для р:

274

В формулах (8.30)-(8.32) необходимо определить величину о² . В силу симметрии доверительного интервала относительно величины можно записать, что р_е =р_а +є, р_н= р_л -є. Применяя формулу для до­верительного интервала нормально распределенной случайной величи­ны, получаем

Р(\р>-р\<£) = Ф

Из данного уравнения находим значение а _р:

Р.~ Р«

>/2 Ф~¹(р_я) 2уІ2ф-¹(_Ра)’

где Ф'¹ Ср_д) - функция, обратная функции Лапласа. Таким образом, оп­ределены все величины, входящие в (8.30) - (8.32).

3. Пусть априорная информация присутствует в виде оценки ВБР

объекта за время T - р_г (Tj_j). Известна нижняя доверительная граница с доверительной вероятностьюр=Р(р_и < р). Такой вид задания априор­ной информации имеет место для высоконадежных объектов, когда ВБР близка к единице. Текущая информация получена в результате испыта­ний объектов за время T_p, в ходе которых из к испытываемых устройств m устройств отказывает. Вместо характеристики вероятности безот­казной работы р будем пользоваться характеристикой вероятности от­каза (ВО) - q. При этом нижний доверительный интервал для ВБР за­меним на верхний доверительный интервал для ВО q=\ -р_и с довери­тельной вероятностью

Р(Я ^ Я.) = P(P^P_u), 9а^=1_А-

В качестве априорной плотности распределения вероятности отка­за в этом случае можно использовать гамма-распределение

а :

а в качестве функции правдоподобия - распределение Пуассона

f(q,m,k) = ^QL-exp(-kq). (8.33)

ml

Тогда апостериорная плотность распределения ВО

(8.37)

(8.38)

(8.39)

P(q, > q) = jcxp(-Xq)dq.

Подставляя в (8.28), (8.29) выражение для апостериорной плотнос­ти (8.34), получаем байесовскую оценку ВО

1

X».-I

q₆=-f :(8.35)

J q^a*^m~^l ехр (-<7 (X + к ))dq

о

точность оценки ВО

jy^+m+1 txp(-q{X +k))dq

_Л -»

(8.36)

Jq ехр (~q(X + k))dq

П

В общем случае интегралы, стоящие в (8.34)-(8.36), в элементар­ных функциях не представляются; решение получают численными ме­тодами. Для целых а интегралы принимают следующий вид:

/ = |q°exp(-₉fe)d₉=exp(-b) -1-^--...-^ +_£!_(!_ехр(-Ь)),

Ь^а

где Ъ = X + к;

+ а-1 для I_t=Jq^m+a ‘ехр(-q(X + k))dq\

0

і

т + а для 1_г = Jq^m+a exp(-q(X + k))dq;

о

1

m + а + І для I₃= Jq^m*"*' exp(-q(X + k))dq.

т

Параметры а и А., входящие в эти выражения, получают из следую­щих соотношений. Для гамма-распределения известно, что

Mlq] = q, = а/Х.

Запишем выражение для доверительной вероятности

*• XjXqf-' о ^Г(«)

Из (8.37) выразим а через X и q_a и подставим в (8.38), получим

P(q.>q) = J

^Jo ^r(Xq_a)

Решая уравнение (8.39), определим значение параметра X.

4. Проанализируем еще одну задачу байесовского оценивания ВБР, являющуюся частным случаем изложенной выше, в следующей поста­новке. Пусть имеется априорная информация в виде оценки ВБР q_a (T_p) с известной точностью с_а. В результате текущих наблюдений за группой однотипных объектов зафиксировано т отказов из к испытываемых образцов.

Предположим, что ВО в качестве априорной плотности распреде­ления имеет гамма-распределение

h(q) = — X^а ехр (-A^).

(а-1)! ^v '

В данном случае апостериорная плотность примет вид (8.34), а байе­совская оценка и точность байесовской оценки будут определяться по (8.35), (8.36). В отличие от предыдущего случая оценивания парамет­ры а и А. будем определять по следующим соотношениям:

10. (8.40)

    = qJo\; a = q²Jal.

Если априорная информация присутствует в виде испытаний и_а об­разцов некоторого изделия, из которых за время T т_а образцов отказы­вает, то для учета такой информации необходимо сначала определить

q_a и о] по формулам

\ р^\\-Pf dp

Ph

^pS-¹T. ^; (8.41)

$ р^к~^т(\-р)^т dp

Kp) =

• т ₂ т,

Я,. =1 Oa=-T

п. п:

V

и затем воспользоваться выражениями (8.34) - (8.36) и (8.40). Так, в частности из (8.40) получим, что X = п²1т_л, а = H¹Im_b- п.

5. Известен интервал, в котором заключено значение оцениваемого параметра ВБР р. Результаты текущих исследований представлены в виде испытаний к объектов, из которых за время T отказало т образ­цов.

В случае, когда по априорным данным определен интервал в виде нижней и верхней границ и отсутствуют данные, указывающие наибо­лее вероятное значение ВБР, можно считать в пределах этого интерва­ла (р_я, р_н) любое значение р возможным, т.е. до проведения текущих исследований все значения р из интервала (р_н, р_в) равновероятны и ап­риорная плотность распределения будет иметь вид

°’0<р<р_я,

1

р_и <р<р_в,

Р>-Р„

[0; Pt < P-I-

Результаты текущих исследований можно представить в виде ис­пытаний по схеме Бернулли. В этом случае отношение правдоподобия запишем в виде

/(р, т,к) = с^т P^k-^mH- PT.

Тогда по формуле Байеса апостериорная плотность запишется следую­щим образом:

jp‘~0-p)-dp

P.

байесовская оценка ВБР будет иметь вид

точность байесовской оценки

р,

‘ _P^k-^m+2(l-_P)^mdp *

_2 _ Ph £2

~~Т. ^p^ (8.42)

\ P^k-^mH-Pfdp Pn

Вычисление интегралов, входящих в (8.41) и (8.42), после подста­новки численных значений кит не вызывает особых затруднений.

Изложенные процедуры оценивания характеристик надежности объек­тов могут найти применение при расчетах показателей надежности по ре­зультатам эксплуатации, в первую очередь, электронных приборов и уст­ройств, входящих в состав штатного оборудования систем управления и защиты, а также контрольно-измерительных приборов и автоматики объек­тов повышенного риска, например, таких как энергоблоки атомных стан­ций. В качестве априорной информации необходимо использовать инфор­мацию, приведенную в паспортах или технических описаниях на соответ­ствующие устройства. Анализ этих документов показывает, что в них в большинстве случаев приводится информация в виде либо доверительно­го интервала, либо доверительного интервала с указанием доверительной вероятности.

10. Оценивание вероятности отказа объектов при биномиальном распределении результатов испытаний

Рассмотрим в данном параграфе еще один подход к определению показателей надежности элементов с учетом априорной информации. Пусть проводятся испытания группы изделий объема к. В результате испытаний к образцов в течение времени T_p зарегистрировано т отка­завших изделий. Требуется определить вероятность отказа изделия при условии, что имеется априорная информация в виде результатов испы­таний п изделий в течение времени Г, в ходе которых т_а образцов от­казало.

Если размеры партии велики по отношению к размеру любой рас­сматриваемой выборки, то для расчета вероятности отказа изделия (вероятности того, что в результате испытания к образцов т из них от­кажет) можно использовать биномиальное распределение [43]

/ (q,m,k) = -A:—_;g-( 1

В качестве априорного распределения вероятности отказа в данном случае целесообразно использовать (3-распределение

^Кч) = 7 ш (¹-?)"'"""¹■

Это следует из результатов п. 8.6, где было показано, что биноми­альное распределение и (3-распределение являются сопряженными. Априорная оценка вероятности отказа (ВО) в этом случае может быть получена методом моментов и равна

1

<7_а =\qh(q)dq.

О

Данное выражение можно переписать в виде = „ ^п!- п ^ w_a!(n-w_a-l)!

Поскольку подынтегральное выражение само по себе является (3- распределением, то этот интеграл равен единице, следовательно, полу­чаем

Ч а •

П

Априорная дисперсия величины q оказывается равной

_ст2 _ W_a (n W_a)

*■ п²(п+1) ■

Определим теперь апостериорную плотность распределения вели­чины q, используя теорему Байеса:

— ■

J(I- Ч—-I _dq

о

Значение интеграла в этом случае равно

_ (т_а +т-1)! (п+к-т_г —т—\)\ ^р (и+ Jk-1)! '

Отсюда видно, что апостериорное распределение ВО само является 13- распределением с параметрами

^anocr = ^т,+т; «_апост =п+к.

Таким образом, можно определить байесовскую оценку ВО:

<7₆ =(т, +т)/(п + к).

Дисперсия байесовской оценки равна

0. _ (т_а + т) (п + к - W_a - т)

(п + к)²(п + к+1)

Итак, получили байесовскую оценку ВО и оценили точность байесовс­кой оценки ВО.

Подведем некоторые итоги. В последних двух главах рассмотрены параметрические методы, с помощью которых производится оценива­ние характеристик модели, описывающей объекты, имеющие случай­ную природу. Изложенные процедуры позволяют как получить оценки параметров модели, так и рассчитать точность произведенного оцени­вания. Изложены байесовские процедуры оценивания, которые позво­ляют повышать достоверность расчетов за счет использования допол­нительных видов информации. Причем, если у исследователя имеется информация, полученная более чем на двух этапах наблюдения, то бай­есовские процедуры позволяют учитывать все виды наблюдения с ис­пользованием процедур последовательного учета накапливаемой инфор­мации. Оценивание точностных характеристик параметров модели по­зволяет в дальнейшем исследовать вопросы адекватности построения моделей, анализировать неопределенность моделей.