Вероятностные автоматы

Вероятностный автомат является примером дискретно-стохастической функциональной модели исследуемой системы. Сущность дискре­тизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмот­ренным ранее конечным автоматам, но появляется возможность учета влияния случайных факторов на развитие моделируемых процессов.

В общем виде вероятностный автомат(англ.probabilisticautomat) можно определить как дискретный потактный преобразо­ватель информации с памятью, функционирование которого в каж­дом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически [10].

Применение схем вероятностных автоматов имеет важное значение для моделирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования.

Введем математическое определение вероятностного автомата, используя понятия, принятые ранее для определения конечного автомата. Рассмотрим множество G,элементами которого являются всевозможные пары(x_i, z_k), гдеx_iиz_k - эле­менты входного подмножестваХи подмножества состоянийZсоответственно. Если существуют две такие функциии, что с их помощью осуществляются отображенияGZиGY, то гово­рят, чтоF=<Z, X, Y,  , z₀ >определяет автомат детерминирован­ного типа.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф- множество всевозможных пар вида(z_k, y_i), гдеy_i- эле­мент выходного подмножестваY. Потребуем, чтобы любой элемент множестваGиндуцировал на множествеФнекоторый закон рас­пределения следующего вида:

При этом гдеb_kj - вероятности перехода автомата в состояниеz_k и появления на выходе сигнала y_j, если автомат был в состоянииz_sи на его вход в этот момент времени поступил сиг­налx_i.Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множестваG. Обозначим множество этих таблиц черезВ.Тогда четверка элементовP=<Z, X, Y, В>назы­вается вероятностным автоматом.

Пусть элементы множества Gиндуцируют некоторые законы распределения на подмножествахYиZ, что можно представить соответственно в следующем виде

При этом и, гдеs_k иq_j -вероятности перехода автомата в состояниеz_kи появления выходного сигналаy_k при условии, что автомат находился в состоянииz_sи на его вход поступил входной сигналx_i.

Если для всех kиjимеет место соотношение ,то такой автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния вероятностного автомата и его выходного сиг­нала.

Пусть теперь определение выходного сигнала вероятностного автомата зави­сит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Yиндуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:

Здесь , гдеq_i - вероятность появления выходного сигналаy_iпри условии, что автомат находился в состоянииz_k.

Если для всех kиi имеет место соотношениеq_ks_i=b_ki, то такой автомат называетсявероятностным автоматом Мура. Понятие вероятностных автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детер­минированным конечным автоматом, задаваемымF=<Z, X, Y,  , z₀ >.

Част­ным случаем вероятностного автомата, задаваемого как P=<Z, X, Y, В>, явля­ются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминированно. Если выходной сигнал автомата определяется детерминированно, то такой авто­мат называетсяY-детерминированным вероятност­ным автоматом. АналогичноZ-детерминированным вероятностным автоматомназывается автомат, у ко­торого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 5.4.Рассмотрим Y-детерминированный вероятностный автомат, который задан таблицей переходов (табл. 5.6) и таблицей выходов (табл.5.7).

Вэтих таблицахp_ij -вероятность перехода автомата из состоянияz_iв состояниеz_j.При этом, как и ранее,.

Таблица 5.6. Таблица переходов Y-детерминированного автомата

Таблица 5.7. Таблица выходов Y-детерминированного автомата

Первую из этих таблиц можно представить в виде квадратной матрицы размерностью , которую будем называть матрицей переходных вероятно­стей или просто матрицей переходов вероятностного автомата. В общем случае такая мат­рица переходов имеет вид

.

Для описания Y-детерминированного автомата необходимо задать на­чальное распределение вероятностей следующего вида:

Здесь d_k - вероятность того, что в начале работы автомат находится в состоянииz_k. При этом.

Будем считать, что до начала работы (до нулевого такта времени) ав­томат всегда находится в состоянии z₀ и в нулевой такт времени меняет состоя­ние в соответствии с распределениемD.Дальнейшая смена состояний автомата определяется матрицей переходов P_p.Информацию о начальном состоянии вероятностного автомата удобно внести в матрицу P_p,увеличив ее размерность до(K+1)(K+1). При этом первая строка такой матрицы, сопоставляемая состоя­ниюz₀, будет иметь вид(0, d₁, d₂ ,..., d_k),а первый столбец будет нулевым.

Описанный Y-детерминированный автомат можно задать в виде ориенти­рованного графа, вершины которого сопоставляются состояниям автомата, а ду­ги — возможным переходам из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям переходаp_ij,а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями.

Очевидно, что с точки зрения математического аппарата зада­ние Y-детерминированного автомата эквивалентно заданию не­которой дискретной марковской цепи с конечным множеством со­стояний.Поэтому аппарат марковских цепей является основ­ным для аналитических расчетов.

Пример 5.5. Пусть заданY-детерминированный вероятностный автомат

На рис. 5.3 показан граф переходов этого автомата. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого автомата в состояниях z₂ и z₃.

При использовании аналитического подхода можно записать известные соот­ношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для опреде­ления финальных вероятностей. При этом начальное состояние z₀можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияния на значения фи­нальных вероятностей.

Тогда имеем

, гдеc_k —финальная вероятность пребывания автомата в состоянииz_k. Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки с₁₊ с₂₊ с_{3+ +}с₄=1. Тогда, решая систему уравнений, получимс₁=5/23,с₂=8/23,с₃=5/23,с₄=5/23.

Таким образом, с₂₊ с₃=13/23=0,5652. Другими сло­вами, при бесконечной работе заданного в этом примереY-детерминированного автомата на его выходе формируется двоичная последова­тельность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.

Подобные автоматы могут ис­пользоваться как генераторы марков­ских последовательностей, которые не­обходимы при моделировании процессов функционирования сис­тем или воздействий внешней сре­ды.

Для оценки различных характерис­тик исследуемых систем, представляе­мых в виде конечных и вероятностных автоматов,кроме рассмотрен­ного случая аналитических моделей можно применять и имита­ционные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования.