Потоки событий

В теории массового обслуживания вводится в рассмотрение модель потоков событий [6]. Потоком событийназывается последовательность событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени(рис.4.2).

Строго говоря, на рисунке изображена одна реализацияпотока событий, для полного задания которого требуется теоретически бесконечно большое количество таких реализаций.

Потоками событий могут моделироваться:

• поступления заявок на вход системы обслуживания (на вход очереди);

• поступления заявок на вход обслуживающего устройства (на выход очереди);

• появление обслуженных заявок на выходе системы обслуживания.

Потоки событий обладают различными свойствами, которые позволяют выделять различные типыпотоков.

Потоки могут быть однороднымиинеоднородными. Поток однотипных событий является однородным. Неоднородный поток может быть представлен наложением нескольких однородных потоков.

Регулярнымпотоком называется поток, в котором события следуют одно за другим через одинаковые промежутки времени.

Обозначим - моменты появления событий (),- интервалы между событиями. Тогдадля регулярного потока.

Рекуррентный поток представляет собой такую последовательность событий, для которой все интервалы между событиями подчиняются одному и тому же закону распределения.

Обозначим ,- функцию распределения интервалов между заявками. Тогдадля рекуррентного потока.

Важной характеристикой потоков является вероятность распределениячисла событий в заданном интервале времени, которая определяется следующим образом:

,

где - число событий, появляющихся на интервале.

Отсутствие вероятностной зависимости последующего течения процесса от предыдущего определяется в теории СМО как отсутствие последействия.

Поток без последействияхарактеризуется тем, что для двух непересекающихся интервалов времени, где, вероятность появления числа событий на втором интервале не зависит от появления числа событий на первом интервале.

Вообще, если имеется одноканальная СМО с временем обслуживания , то при потоке заявок без последействия на входе системы выходной поток будет с последействием, т.к. заявки на выходе СМО появляются не чаще, чем через интервал .

Потоком с ограниченным последействиемили потоком Пальма называется такой поток, для которого интервалы между событиями независимы.

Поток называется стационарным, если вероятность появления какого-то числа событий на интервале временизависит только от длины этого интервала и не зависит от расположения его на оси времени. Для стационарного потока среднее число событий в единицу времени постоянно.

Например, поток телефонных вызовов на городской станции в течение короткого интервала времени (1 час) можно считать стационарным, тот же поток, рассматриваемый в течение суток, не будет стационарным.

Ординарнымпотоком называется такой поток, для которого вероятность попадания на данный малый отрезок временидвух и более требований пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного требования.

Если обозначить через вероятность появления на интервалеболее одной заявки, то ординарность означает, что.

Предел, если он существует, где- вероятность того, что на интервалепоявятся заявки (одна и более), называетсяинтенсивностью потока.

Интенсивность стационарногопотока не зависит от времении равна среднему числу событий в единицу времени.