Распределение событий в пуассоновском потоке

Найдем выражение , где- вероятность того, что на интервалепроизойдетсобытий. Это событие произойдет в одном из двух взаимоисключающих случаях:

1. событий произошло на интервалеи 0 событий - в интервале, следующем непосредственно за. Так как последействие отсутствует, то вероятность случая 1 равна;

2. событие произошло в интервалеи 1 событие – в интервале. Соответствующая вероятность.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем вероятность наступления ситуации 1 или 2:

.

Откуда . Устремив, получим.

Определим аналогичное соотношение для . Чтобы событие на интервалене наступило ни одного раза, необходимо и достаточно, чтобы оно наступило0раз в интервалеи0раз - в. Вероятность этого события равна. Откуда аналогично получим.

Таким образом, пуассоновский поток событий описывается системой линейных дифференциальных уравнений

,

с очевидными начальными условиями .

Из первого уравнения получаем , из начальных условий имеем, откудас = 1. Окончательно.

Таким образом, для пуассоновского потока вероятность отсутствиясобытий на любом интервале длинойопределяется экспоненциальной зависимостью. Для решения полной системы уравнений используем преобразование Лапласа. Имеем,

,

откуда ;и далее;; ....

Взяв обратное преобразование Лапласа, с помощью таблиц получим , т.е. распределение Пуассона.

Таким образом, простейший поток подчиняется закону распределения Пуассона, для которого математическое ожидание и дисперсия соответственно равны .