Антонов

7.2. Использование метода максимального правдоподобия для оценивания параметров законов распределения

где Z⁷₁(Z), F₂(t), H(f) - некоторые функции, удовлетворяющие следующим условиям:

F₁(I), F₂(I) интегрируемы на (-«>, °°) и интеграл J H(t)f(Q,t)dt < P,

причем р не зависит от 9;

для каждого 9 из 0 интеграл

конечен и положителен.

Используя метод максимального правдоподобия при наличии больших объемов выборки, можно произвести оценивание дисперсий вектора оценок 9. Для этого составляется информационная матрица Фишера

Одним из важных достоинств метода максимального правдоподобия является то, что он позволяет получить асимптотически нормальные и эффективные оценки параметров функции распределения случайной величины t. Для этого необходимо, чтобы выполнялся ряд условий, называемых условиями регулярности [32].

Для каждого 9, принадлежащего некоторому невырожденному интервалу 0, существуют производные

Э In /(0,0. Э² In/(0,0. Э³ In/(0,о.

Э0 ^: Э0² ’ Э0³

	^faU	^а\г	^aIn
Il	^а2\	^а22	.. а_2п
	.«»1	“„2 '	.. а_т

для каждого 9 из 0 имеем

Э² InL

159,30, J

Э³ In /(0,0

<^0);

Э0²

Дисперсии и ковариации оценок 9.и 9 определяются из ковариационной матрицы V, которая является обратной матрице I:

ние

/=1

^:0.

ЭХ.

А.	A₂ •	Cf
А.	A₂ •	•• D_2n
А,	A₂ •	• D_m

V= I¹=

D(Q_i) при i = j;

где Dy =

Cov(Q_itQ_j) при ІФ j.

Приведем формулы для определения дисперсии параметров законов распределения для двухпараметрических плотностей. Пусть а и (3 - оцениваемые параметры плотности / (а, (3, t). Пусть определены элементы информационной матрицы

Экспоненциальное распределение

Рассмотрим имеющее важное прикладное значение экспоненциальное распределение. Например, данное распределение широко используется в теории надежности для описания случайной величины наработки до отказа. Плотность экспоненциального распределения имеет вид f₃(X, t); функция распределения F (А,, 0 = 1- exp(-Ai). Параметр X называется интенсивностью отказов. Запишем функцию правдоподобия

п Ґ п ^

L₃ (А, 0 = ]^[ Аехр(-XT_j) = X" ехр -X^T₁ .

Li I_v .-=1 ,

Для определения оценки параметра X необходимо решить уравне-

nln А-А^7]

dl(X,t)

ЭХ

Э/(а,р,0

(7.3)

(7-4)

(7.5)

(7-6)

где

Э^(аДО__Э²/(ос,р,0

> ^a2l — ^aU — і <Я₂2 ⁼

Эа² ’ ¹² ЭаЭр Дискриминант матрицы равен

Dis = а_иа₂₂ -Ctf₁.

Тогда дисперсию параметров а и P определим по формулам

эр²

D = _f3L. Dis ’

D =--

Dis

Ковариация будет вычисляться следующим образом:

cov(a,P) = —^-.

Dis

Перейдем к рассмотрению примеров применения метода максимального правдоподобия для оценивания параметров некоторых законов распределения, имеющих важное значение в задачах системного анализа.

После дифференцирования получаем оценку максимального правдоподобия параметра экспоненциального закона распределения

¹L^t,

Дисперсия оценки параметра X характеризует точность этого параметра и равняется

>²

ДА.] = —■

Для интенсивности отказов, зная оценку параметра и ее дисперсию, можно определить доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью. Если обозначить верхнюю и нижнюю оценки интенсивности отказов через A_fl и А,_н, то можно определить

A_b = A+-pf_p, A_h = X--j=t_?, л/и

где - табулированная величина, которая зависит от уровня доверительной вероятности P и определяется обратным интерполированием распределения Стьюдента [37, табл. 6.2].

Определение среднего времени между реализациями событий производится по формуле

интервальные оценки равны

T_u=J-, T_b = J-.

Вероятность безотказной работы определяется следующим образом:

P₃ (г Д) = ехр (-Xf), соответственно интервальные оценки вычисляются так:

p_u(t,X) = e\ p(-V); P_b (їД) = ехр (-V)-

Рассмотрим далее пример оценивания параметров нормального закона распределения.

Нормальное распределение

ВВЕДЕНИЕ 5

Содержание