Фазовые портреты простых канонических систем
(a) Различные действительные собственные значения
Система уравнений имеет вид
Решением системы является y1 =; y2 =,откуда получаем. Возможны два варианта:
(а.1) Корни 1 и 2 противоположного знака.
Получается семействогипербол, имеющих асимптотами осиу1 иу2, которые так же являются траекториями. Направления, по которым траектории проходят через стационарную точку, можно определить непосредственно из решений приt,изменяющемся от0до. Суммарный фазовый портрет такой системы называетсяседлом.
(а.2) Корни 1 и 2 одного знака.
Траектории в этом случае образуют семейство степенных функций, причем каждая траектория входит в точку покоя или выходит из нее (в зависимости от знака корней) с различных направлений. Совокупная картина фазовых траекторий называется в этом случае узлом устойчивым илинеустойчивым (рис.3.6).
(в) Действительные кратные собственные значения.
В этом случае имеем систему уравнений
имеющую решение. Откуда получаемy2=cy1, т.е. интегральными линиями служат все прямые, проходящие через начало координат. Этозвездообразный(звездный) узел.
(c)Действительные кратные значения.
В этом случае система уравнений принимает вид:
Получаем узел с одним направлением входа устойчивый при 0 < 0 и неустойчивый при0 > 0. Такой фазовый портрет называетсявырожденным узлом. Узлы такого вида представляют собой точки с координатами (2n,0), где n=0,1,... механической системы с трением, фазовый портрет которой приведен на рис.3.4,b.
(d) Комплексные собственные значения.
Система уравнений имеет вид
Выполним замену переменных:
Переходя в плоскости y1 , y2 к полярным координатам, получим систему уравнений
имеющую следующее решение:
Последнее уравнение задает логарифмические спирали, выходящие (или входящие) из начала координат (точки покоя). Направление движения по траекториям приt,изменяющемся от 0 до, определяется из решения системы уравнений. При < 0имеем устойчивый фокус, а при > 0-неустойчивый. При =0получим = с, т.е. в плоскостих,уполучается семейство подобных окружностей с общими осями симметрии. Фазовый портрет в этом случае называетсяцентром.
Рис.3.8. Комплексные собственные значения порождают: а - неустойчивый фокус, >0 б - устойчивый фокус, <0 в - центр, =0
- Оглавление
- 1. Модели и системы 9
- 2. Технология моделирования 20
- 3. Непрерывные детерминированные модели 36
- 4. Модели массового обслуживания 66
- 5. Дискретные модели 98
- Предисловие
- Модели и системы
- Физические и математические модели
- Моделирование: системный подход
- Общая модель функционирования
- Технология моделирования Построение моделей
- Содержательное описание системы
- Концептуальное моделирование
- Построение математических моделей
- Истинность моделей
- Непрерывные детерминированные модели Непрерывные модели динамических систем
- Задачи анализа непрерывных систем
- Основные определения
- Построение фазовых портретов
- Устойчивость точек равновесия
- Линейные системы
- Стационарное решение
- Общее решение
- Двумерные канонические системы
- Простые канонические системы
- Фазовые портреты простых канонических систем
- Фазовый портрет простой линейной системы
- Качественная эквивалентность
- Непростые канонические системы
- Нелинейные системы Глобальные и локальные фазовые портреты
- Линеаризация нелинейных систем
- Предельные циклы
- Модели массового обслуживания Основные понятия. Терминология
- Потоки событий
- Пуассоновский поток событий
- Распределение событий на малом интервале времени
- Распределение событий в пуассоновском потоке
- Распределение интервалов между событиями
- Законы обслуживания
- Марковские смо
- Марковские цепи
- Матрица перехода для пуассоновского потока заявок
- Одноканальная смо с ожиданием
- Многоканальная смо с ожиданием
- Смо с отказами
- Многоканальные смо с взаимопомощью
- Замкнутые системы
- Дискретные модели Конечные автоматы
- Вероятностные автоматы
- Сети Петри
- Ординарные сети Петри
- Библиографический список