45.Кроковий метод розв’язування систем нелінійних рівнянь

Розглянуті методи можна розділити на два класи:

1) ітераційні, для яких відома точність рішення, але невідома кількість обчислень (ітерацій), які знадобляться, щоб досягти задану точність:

Метод пружних рішень є найпоширенішим для вирішення фізично нелінійних задач.

Метод змінних параметрів. (У математиці він відомий як метод січних. )

2) прямі, для яких заздалегідь відома кількість обчислень, але невідомо, яка буде досягнута точність:

Крокові методи: (Численні модифікації крокових методів укладаються в схему відомого в прикладній математиці методу диференціювання по параметру (методи продовження).

Метод послідовних жорсткостей.

Метод послідовних навантажень з урахуванням нев'язок навантажень.

Крокові методи знайшли дуже широке застосування, і це, разом з достатньо легкою реалізацією, пояснюється також можливістю організації комп’ютерного моделювання процесу навантаження або процесу зміни напружено-деформованого стану конструкції в часі, викликаного таким чинником, як повзучість.

При необхідності вирішення тільки нелінійної задачі, тобто визначення напружено-деформированного стану, відповідного заданому навантаженню, перевагу слід віддавати ітераційним методам. При необхідності проведення математичного моделювання процесу навантаження використовуються крокові методи.

Крокова процедура.

Відомі декілька варіантів крокової процедури, які відрізняються лише використовуваними методами чисельного рішення задачі Коші. Усі вони випробувані на практиці і мають свою сферу застосування. Так, в ПК ЛІРА є можливість використовувати наступні модифікації крокового методу:

простий кроковий метод;

кроковий процес з уточненнями;

кроково-ітераційний.

У першому випадку на кожному кроці вирішується лінеаризована задача, і в припущенні, що це рішення є досить точним, реалізується перехід до наступного кроку навантаження. Погрішність розв’язку нелінійної задачі не контролюється - передбачається, що погрішність мала за рахунок вибору малого кроку чисельного інтегрування.

Другий варіант передбачає контроль нев'язок на кожному кроці та ітераційне уточнення навантаження чергового кроку за рахунок врахування нев'язки в рівняннях рівноваги.

Нарешті, в третьому випадку виробляється ітераційне уточнення рішення на кожному кроці з коригуванням лінеаризованої матриці жорсткості на кожній ітерації.

Для вирішення фізично і геометрично нелінійних завдань будівельної механіки кроковим методом в ПК ЛІРА призначений кроковий процесор ЛІР-СТЕП.

ЛІР-СТЕП організовує кроковий процес і забезпечує рішення лінеаризованої системи дозволяючих рівнянь на кроці для поточного приросту вектора вузлових навантажень, сформованого для конкретного навантаження.

ЛІР-СТЕП дозволяє комбінувати лінійні і нелінійні скінченні елементи, а також реалізовувати розрахунок за суперелементною схемою, якщо нелінійні елементи присутні тільки в основній схемі.

Для задання параметрів нелінійності у всіх діалогових вікнах задання характеристик жорсткості для стандартних перерізів додається група кнопок "Врахування нелінійності", які стають активними після задання відповідного типу скінченних елементів.