Пособие 2011

Однородные координаты

Преобразования переноса, масштабирования и поворота записываются в матричной форме в виде

Очевидно, что перенос, в отличие от масштабирования и поворота, реализуется с помощью сложения. Это обусловлено тем, что вводить константы переноса внутрь структуры общей матрицы размером 22 не представляется возможным. Желательным является представление преобразований в единой форме – с помощью умножения матриц. Эту проблему можно решить за счет введения третьей компоненты в векторы точек и , т. е. представляя их в виде и . Матрица преобразования после этого становится матрицей размером 32:

Это необходимо, поскольку число столбцов в матрице, описывающей точку, должно равняться числу строк в матрице преобразования для выполнения операции умножения матриц. Таким образом,

откуда следует, что константы т, п вызывают смещение х* и y* относительно х и у. Поскольку матрица 32 не является квадратной, она не имеет обратной матрицы. Эту трудность можно обойти, дополнив матрицу преобразования до квадратной размером 33. Например,

Заметим, что третья компонента векторов положения точек не изменяется при добавлении третьего столбца к матрице преобразования. Используя эту матрицу в соотношении, получаем преобразованный вектор [х* у* 1]. Добавление третьего элемента к вектору положения и третьего столбца к матрице преобразования позволяет выполнить смещение вектора положения. Третий элемент здесь можно рассматривать как дополнительную координату вектора положения. Итак, вектор положения [х у 1] при воздействии на него матрицы 33 становится вектором положения в общем случае вида [X Y Н]. Представленное преобразование было выполнено так, что [X Y Н] = [х* у* 1].

Преобразование, имеющее место в трехмерном пространстве, в нашем случае ограничено плоскостью, поскольку H = 1. Если, однако, третий столбец матрицы преобразования Т размера 3 х 3 отличен от 0, то в результате матричного преобразования получим [х у 1] =[Х Y Н], где Н  1.

Плоскость, в которой теперь лежит преобразованный вектор положения, находится в трехмерном пространстве. Однако сейчас нас не интересует то, что происходит в трехмерном пространстве.

Итак, найденные х* и у* получены с помощью пучка лучей, проходящих через начало координат. Результат преобразований показан на Рис. 6 .53.

Рис. 6.53. Геометрическое представление однородных координат

Из рассмотрения подобных треугольников видно, что и . Рассматривая три компоненты, запишем это в виде

Представление двумерного вектора трехмерным или в общем случае n-мерного вектора (п + 1)-мерным называют однородным координатным воспроизведением. При однородном координатном воспроизведении n-мерного вектора оно выполняется в (п + 1)-мерном пространстве, и конечные результаты в n-мерном пространстве получают с помощью обратного преобразования. Таким образом, двумерный вектор [х у] представляется трехкомпонентным вектором . Разделив компоненты вектора на однородную координату h, получим

и .

Не существует единственного однородного координатного представления точки в двумерном пространстве. Например, однородные координаты (12, 8, 4), (6, 4, 2) и (3, 2, 1) представляют исходную точку [3 2]. Для простоты вычислений выбираем [х у 1], чтобы представить непреобразованную точку в двумерных однородных координатах. Преобразование

в дополнительных координатах задается выражением в однородных координатах в виде

Выполнение указанных выше преобразований показывает, что Х = х*, Y = у*, а Н = 1. Равенство единице дополнительной координаты означает, что преобразованные однородные координаты равны исходным координатам.

В общем случае Н  1, и преобразованные обычные координаты получаются за счет нормализации однородных координат, т. е.

и .

Геометрически все преобразования х и у происходят в плоскости Н = 1 после нормализации преобразованных однородных координат.

Преимущество введения однородных координат проявляется при использовании матрицы преобразований общего вида порядка 33

с помощью которой можно выполнять и другие преобразования, такие как смещение, операции изменения масштаба и сдвига, обусловленные матричными элементами а, b, с и d. Указанные операции рассмотрены ранее.

Чтобы показать воздействие третьего столбца матрицы преобразований 33, рассмотрим следующую операцию:

;

здесь Х = х, Y = у, а Н = рх + qy + 1. Переменная Н, которая определяет плоскость, содержащую преобразованные точки, представленные в однородных координатах, теперь образует уравнение плоскости в трехмерном пространстве.

Это преобразование показано на Рис. 6 .54, где линия АВ, лежащая в плоскости ху, спроектирована на линию CD плоскости рХ + qY —Н + 1 = 0.

Рис. 6.54. Преобразование отрезка в однородных координатах

На рисунке величина р = q = 1.Выполним нормализацию для того, чтобы получить обычные координаты:

Полагая р = q = 1, для изображенных на рисунке точек А и В с координатами соответственно (1, 3) и (4, 1) получим

и .

После преобразования А в С* и В в D* имеем

и .

Однородные координаты для точек С* и D*, показанные на рисунке, соответственно равны и .

Результатом нормализации является перевод трехмерной линии CD в ее проекцию C*D* на плоскость Н = 1. Как показано на рисунке, центром проекции является начало координат.

Основная матрица преобразования размером 33 для двумерных однородных координат может быть подразделена на четыре части:

Как мы видим, а, b, с и d осуществляют изменение масштаба, сдвиг и вращение; т и п выполняют смещение, а р и q — получение проекций. Оставшаяся часть матрицы, элемент s, производит полное изменение масштаба. Чтобы показать это, рассмотрим преобразование

Здесь Х = х, Y = у, а Н = s. Это дает х* = x/s и y* == y/s. В результате преобразования [х у 1 ] —> [x/s y/s 1] имеет место однородное изменение масштаба вектора положения. При s < 1 происходит увеличение, а при s > 1 — уменьшение масштаба.

Содержание