Функции Радемахера

Функции Радемахера получаются из синусоидальных функций можно определить по формуле :

rad(m,Q) = sign[sin(2^mQ)], (1)

где 0  Q < 1- интервал определения(безразмерное время, нормированное к произвольному интервалуТ₀ ); m- номер функции; m = 0, 1, 2, ...

Для m = 0 функция Радемахера rad(0,Q) = 1.

Знаковая функция sign(x)-(сигиум функция) определяется соотношением

(2)

Функции Радемахера принимают одно из двух значений ±1 и имеют

вид меандра.

Функции Радемахера это периодические функции с периодом 1, т. е.

rad(m,Q) = rad(m,Q+1).

Первые четыре функции Радемахера показаны на рис. 1.

1

0 rad(0, Q)

-1

1

0 rad(1, Q)

-1

1

0 rad(2, Q)

-1

1 rad(3, Q)

0

-1

Q

0 0.51

Рис. 1. Функции Радемахера

Дискретные функции Радемахера определяются дискретными значениями Q в точках отсчета. Например: Rad(2,Q) = 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1.

Функции Радемахера ортогональные, ортонормированные (3) но являются нечетными, а значит, не образуют полную систему функций, т. к. существуют и другие функции ортогональные функциям Радемахера (например: rad(m,Q) = sign[cos(2^mQ)]) поэтому их применение ограничено.

(3)

Полными двоично-ортогональными системами базисных функций являются системы функций Уолша и Хаара.