3. Исследование функции на экстремум.

Поиск экстремума функции включает задачи нахождения локального и глобаль- ного экстремумов. Mathcad же с помощью встроенных функций решает только задачу нахождения локального экстремума. Для поиска глобального экстремума

Сравнение функций Find и Miner

эллипс -

прямая -

начальное приближение -

Кривые пересекаются - решение есть

Кривые не пересекаются, поэтому функция Find не может найти решение

Кривые не пересекаются, но функция Minerr находит решение в виде невязки

Рис. 4.6. Точное решение системы уравнений

необходимо вычислить все локальные экстремумы и выбрать из них наибольший (наименьший). Отметим три пути поиска экстремума.

• Для непрерывной функции можно использовать равенство нулю производной от функции (рис. 4.7.).

• Для ступенчатой функции или функции с переломами можно использовать функцию Minerr (рис. 4.8.). Для этого по графику выбирается число, заведомо боль шее (или меньшее) экстремального значения функции, и записывается в качестве ограничения в блоке Given.

• Функция Minerr возвращает значение аргумента, при котором расхождение между заданным числом и значением функции минимально.

• Для непрерывных функций удобно использовать функции Maximize и Minimize (они вводятся аналогично функции Find).

Рис. 4.7. Нахождение экстремумов функции путем приравнивания производной нулю

Ключевое слово Given обычно можно опустить (рис. 4.8.), оно необходимо лишь при наличии ограничений.

Нахождение экстремумов функции нескольких переменных аналогично исследованию функции одной переменной. На примере функции двух переменных покажем влияние ограничений на поиск экстремумов (рис. 4.8 и 4.9). Функции Minimize и Maximize способны вычислить минимум и максимум соответственно как с ограничениями, так и без них. Результаты решения в значительной степени зависят от выбранных начальных приближений и далеко не всегда соответствуют истине.

Р ис. 4.8. Использование функций MINIMIZE и MAXIMIZE.

Совет. При анализе конкретного уравнения желательно внимательно изучить поверхностный график функции и график линий уровня, на котором хорошо видны области экстремумов.

Рис. 4.9. Нахождение экстремума функции двух переменных без ограничений и с ограничениями.

Все три способа определения экструмумов функции имеют свои плюсы, и минусы Творческий подход к их выбору почти всегда позволяет правильно найти экстремумы функции.

Замечание: вид решения системы во многом зависит от того какое уравнение записано первым в системе.