Построение математических моделей на основе вариационных принципов

Вариационные принципы

Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции) выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его переходе из одного состояния в другое.

Допустим, автомобиль, движущийся с постоянной скоростью v, должен попасть из точки А в точку В и при этом коснуться некоторой прямой линии С (рис. 4). Водитель автомобиля очень торопится и выбирает из множества траекторий путь, требующий минимальных затрат времени.

Однако сейчас для нас важно другое — условие минимальных затрат времени привело к выбору соответствующей траектории по правилу «угол падения равен углу отражения».

Сформулированные применительно к какому-либо классу явлений вариационные принципы позволяют единообразно строить соответствующие математические модели. Их универсальность выражается также в том, что, используя их, можно в определенной степени отвле­каться от конкретной природы процесса. Так, водитель автомобиля, следующий принципу «минимального времени» и желающий попасть из точки А, находящейся на песчаной почве (одна скорость), в точку Б, расположенную на травянистом лугу (другая скорость), обязан поехать не по прямой, соединяющей А и Б, а по ломанной траектории, сделав необходимое «преломление» на линии, разделяющей песок и траву.