2. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Одношаговые и многошаговые методы.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называются такие уравнения, которые содержат хотя бы одну или несколько производных от искомой функции. Y = y(x)

Т.е. связывают независимые переменные x с искомой функцией y и ее производными y’(x), y’’(x) и т.д.

Наивысший порядок производной в уравнении называют порядок уравнения. Эти уравнении записываются в следующем виде:

F(x, y, y’,y’’, …, y⁽ⁿ⁾) = 0, где x – независимая переменная, y – искомая функция

Если удается выразить старшую производную в явном виде, то уравнение принимает следующий вид: y⁽ⁿ⁾(x) = F(x, y, y’,y’’, …, y^(n-1)), такой вид называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной. Решением уравнения обыкновенного дифференциального уравнения n-ого порядка содержитn производных постоянных c₁, c₂, …, c_n.

Конкретный набор, которых задает частное решение, этого уравнения, которое можно записывать в виде формулы:

φ = φ(x, c₁, c₂, …, c_n ). Произвольные параметры геометрической интерпретации общего решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-ого порядка представляют собой бесконечное семейство интегральных кривых с параметрами c₁, c₂, …, c_n.

Частному решению соответствует 1 интегральная кривая из этого семейства.

 y=y(x, a) или (-∞; +∞) - геометрическая интерполяция

Через каждую току из области решения проходит 1 интегральная кривая. Это следует из теоремы Коши.

Теорема Коши

Если правая часть f(x, y) для уравнения y’=f(x,y) и ее частная производная

 определена и непрерывна в некоторой области G изменение переменных x, y, то для всякой внутренней точки из этой области (x0, y0) данное уравнение имеет единственное решение при x = x0 и y = y0. Для уравнений высшего порядка геометрическая интерполяция будет более сложной.

Различные постановки задачи Коши

ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n-го порядка)

ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ

Пусть в области рассматривается задача Коши:

где . Пусть правая часть является непрерывной функцией в. В этих предположениях имеет место теоремаПеано, устанавливающая локальную разрешимость задачи Коши: Пусть a>0 и b>0 таковы, что замкнутый прямоугольник

принадлежит области D, тогда на отрезке [x₀ − α,x₀ + α], где α = min{a,b / M}, , существует решение задачи Коши.

Указанный отрезок называется отрезком Пеано. Заметим, что, локальный характер теоремы Пеано не зависит от гладкости правой части. Например, для f(x,y) = y² + 1 и для x₀ = 0,y₀ = 0 решение y(x) = tan(x) существует лишь на интервале ( − π,π). Также отметим, что без дополнительных предположений относительно гладкости правой части, нельзя гарантировать единственность решения задачи Коши. Например, для возможно более одного решения.

Чтобы сформулировать теорему о единственности решения задачи Коши, необходимо наложить дополнительные ограничения на правую часть. Будем говорить, что функция f(x,y) удоволетворяет условию Липшица на D относительно y, если существует постоянная L такая, что

для всех , i=1,2.

Пусть правая часть f(x,y) дополнительно удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, тогда задача Коши не может иметь в D более одного решения.

Также отметим, что хотя эта теорема имеет глобальный характер, тем не менее она не устанавливает существование глобального решения.

Для существования глобального решения необходимо наложить условия на рост правой части по y: пусть функция f удовлетворяет условию

где A>0 - константа не зависящая ни от x, ни от y, тогда задача Коши имеет решение в D. В частности, из этой теоремы следует, что задача Коши для линейных уравнений (с непрерывными по x коэффициентами) имеет глобальное решение.

Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном виде

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел

В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.

Основами для вычислительных методов являются:

решение систем линейных уравнений

интерполирование

численное интегрирование

численное решение системы нелинейных уравнений

численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Описание метода

Пусть дана задача Кошидля уравнения первого порядка

где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале (x₀,b]. На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция f непрерывна в D и непрерывно дифференцируемапо переменнойy в D, то имеет место следующая оценка погрешности

где h — средний шаг, то есть существует C > 0 такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Кошииспользовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задачвариационного исчисленияи ряда других математических проблем.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

Вычисления по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.

Прогноз:

.

Коррекция:

.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты(предиктор-корректор).