1. Сети Петри. Моделирование процессов на основе сетей Петри.

Для моделирования производственных процессов широко применяют имитационные модели.  Имитационные модели применяют, когда необходимо обеспечить наблюдение за ходом процесса в течение определенного временного периода (или когда невозможно применить аналитические модели математического программирования к решению задач управления). При построении имитационных моделей выбирают некоторые базовые единицы модели – объекты, или сущности. Это могу различные физические объекты, например, производственный участок, единица оборудования, деталь, узел и т.д. Объектам присваивают атрибуты. Фиксированные атрибуты описывают природу и характеристики объекта, переменные – состояние объекта. Состояние моделируемой системы описывается состояниями всех характеризующих ее объектов.  Связи между объектами задаются атрибутами. Фиксированные атрибуты описывают статические,  переменные – динамические связи. В зависимости от характера изменения атрибутов различают непрерывные и дискретные модели. В моделях дискретных событий выделяют набор работ. Такими работами, например,  могут быть технологические операции по обработке деталей. Построение модели в этом случае состоит в логико-математическом описании соответствующих работ, событий и процессов.

    Абстрактные автоматы

     Абстрактные автоматы используют для описания объектов АСУ, для которых характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени. К числу таких объектов относятся элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля и регулирования,  системы коммутации, программы и операционные системы.

     Абстрактный автомат можно представить видом:

     , где

      - конечное множество входных сигналов (входной алфавит автомата);

     - конечное множество выходных сигналов (выходной алфавит автомата);

     - выходное множество состояний автомата;

     - начальное состояние автомата;

      - функция переходов автомата,

      - функция  выходов или сдвинутая функция выходов.

     Функции и задают однозначное отображение  множества , где и в множества X и Y. Автомат, заданный функцией  выходов, называется автоматом первого рода, автомат, заданный сдвинутой  функцией выходов, - автоматом второго рода.

     Абстрактный автомат функционирует в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения В каждый момент времени автомат имеет определенное состояние из множества Z состояний автомата, причём в начальный момент времени автомат всегда находится в начальном состоянии , т.е. . В каждый момент времени , отличный от начального, автомат способен воспринимать входной сигнал -  и выдавать соответствующий выходной сигнал. Закон функционирования абстрактного автомата первого рода  задаётся уравнениями ;

Сети Петри

 В абстрактном автомате рассматриваются последовательные переходы состояния.  Поэтому такая  модель неприменима для объектов, способных выполнять свои функции параллельно. Для моделирования таких объектов используют сети Петри. Сети Петри – это  инструмент описания и исследования мультипрограммных, асинхронных, распределенных, параллельных, недетерминированных и/или стохастических систем обработки информации.

     В качестве графического средства сети Петри могут использоваться для наглядного представления моделируемой системы, подобно блок-схемам, структурным схемам и сетевым графикам. Вводимое в этих сетях понятие фишек позволяет моделировать динамику функционирования систем и параллельные процессы. В качестве математического средства аналитическое представление сети Петри позволяет составлять уравнения состояния, алгебраические уравнения и другие математические соотношения, описывающие динамику систем.

     Моделирование в сетях Петри осуществляется на событийном уровне. Определяются, какие действия происходят в системе, какие состояние предшествовали этим действиям и какие состояния примет система после выполнения действия. Выполнения событийной модели в сетях Петри описывает поведение системы. Анализ результатов выполнения может сказать о том, в каких состояниях пребывала или не пребывала система, какие состояния в принципе не достижимы. Однако такой анализ не дает числовых характеристик, определяющих состояние системы.

     Простая Сеть Петри из трех элементов: множество мест, множество переходов  и отношение инцидентности. Сети Петри имеют удобную графическую форму представления в виде графа, в котором места изображаются кружками, а переходы прямоугольниками. Места и переходы соединяются направленными дугами, каждой дуге сопоставляется некоторое натуральное число. Это число называется кратностью дуги, которое графически изображается рядом с дугой. Дуги, имеющие единичную кратность, обозначаются без приписывания единицы.

     Само по себе понятие сети имеет статическую природу. Для задания динамических характеристик используется понятие маркировки сети.  Графически маркировка изображается в виде точек, называемых метками (tokens), и располагающихся в кружках, соответствующих местам сети. Отсутствие меток в некотором месте говорит о нулевой маркировке этого места. 

     Сети Петри могут применяться:

     1) Для моделирования бизнес-процессов. Функциональные диаграммы в нотации IDEF3 могут быть преобразованы в сеть Петри. Каждой работе на диаграмме соответствует переход сети Петри. Позиции соответствуют стрелкам, соединяющим работы напрямую и перекресткам. Метки соответствуют продукции, документов и т.д. Причем в зависимости от перехода интерпретация метки может отличаться.

     2) Для моделирования параллельных вычислений и устройств. Если представить себе переход как процедуру, то она корректно выполняется при наличии значений всех своих аргументов и вырабатывает значения всех выходных переменных. В таком случае входные позиции перехода соответствуют аргументам, выходные – возвращаемым значениям. В другой интерпретации переход может представлять некоторое устройство. Устройство может (но не должно) сработать, если выполнились все входные условия.

     3) Для моделирования процесса обучения. Тогда позиция соответствует некоторому состоянию процесса обучения, метка сопоставляется обучаемому, переход ассоциируется с изучением какой-либо темы обучаемым.

Сети Петри — математический аппарат для моделированиядинамических дискретных систем. Впервые описаныКарлом Петрив1962 году.

Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов — позиций и переходов, соединённых между собой дугами, вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно. В позициях могут размещаться метки (маркеры), способные перемещаться по сети.

Событием называют срабатывание перехода, при котором метки из входных позиций этого перехода перемещаются в выходные позиции. События происходят мгновенно, разновременно при выполнении некоторых условий.

Виды сетей Петри

Некоторые виды сетей Петри:

• Временная сеть Петри — переходы обладают весом, определяющим продолжительность срабатывания (задержку).

• Стохастическая сеть Петри — задержки являются случайными величинами.

• Функциональная сеть Петри — задержки определяются как функции некоторых аргументов, например, количества меток в каких-либо позициях, состояния некоторых переходов.

• Цветная сеть Петри — метки могут быть различных типов, обозначаемых цветами, тип метки может быть использован как аргумент в функциональных сетях.

• Ингибиторная сети Петри — возможны ингибиторные дуги, запрещающие срабатывания перехода, если во входной позиции, связанной с переходом ингибиторной дугой находится метка.

Анализ сетей Петри

Основными свойствами сети Петри являются:

• Ограниченность — число меток в любой позиции сети не может превысить некоторого значения K.

• Безопасность — частный случай ограниченности, K=1.

• Сохраняемость — постоянство загрузки ресурсов, постоянна. Где N_i — число маркеров в i-той позиции, A_i — весовой коэффициент.

• Достижимость — возможность перехода сети из одного заданного состояния (характеризуемого распределением меток) в другое.

• Живость — возможностью срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта.

В основе исследования перечисленных свойств лежит анализ достижимости.

Моделирование в сетях Петри осуществляется на событийном уровне. Определяются, какие действия происходят в системе, какие состояние предшествовали этим действиям и какие состояния примет система после выполнения действия. Выполнения событийной модели в сетях Петри описывает поведение системы. Анализ результатов выполнения может сказать о том, в каких состояниях пребывала или не пребывала система, какие состояния в принципе не достижимы. Однако, такой анализ не дает числовых характеристик, определяющих состояние системы. Развитие теории сетей Петри привело к появлению, так называемых, “цветных” сетей Петри. Понятие цветности в них тесно связано с понятиями переменных, типов данных, условий и других конструкций, более приближенных к языкам программирования. Несмотря на некоторые сходства между цветными сетями Петри и программами, они еще не применялись в качестве языка программирования.

Не смотря на описанные выше достоинства сетей Петри, неудобства применения сетей Петри в качестве языка программирования заключены в процессе их выполнения в вычислительной системе. В сетях Петри нет строго понятия процесса, который можно было бы выполнять на указанном процессоре. Нет также однозначной последовательности исполнения сети Петри, так как исходная теория представляет нам язык для описания параллельных процессов.