ммпур методичка

Распознавание с отказами.

Пусть имеется образов, где (т.е. известны эталоны для этих образов). Тогда можно построить линейную дискриминантную функцию для любой пары образов:

, где , , — образы.

относится к -му образу, если для всех , или к области отказа, если такового — нет.

Посмотрим как это выглядит на графике (рис. 5.11), где

D — гиперплоскости;

1, 2, 3 — образы;

4 — область отказа.

В область отказа попадают такие точки, для которых невозможно определить принадлежность к одному из образов. Другими словами точка отказа — это такая точка, координаты которой при подставлении в дискриминантную функцию дают следующие значения:

;

Дискриминантный анализ эффективно использовать при достаточно близком расположении образов и даже при небольшом их наложении.

Практика показала, что дискриминантный анализ хорошо работает и для случая, когда нет многомерного нормального распределения. При этом необходимо, чтобы распределение по каждому образу было все таки симметрично и унимодально. Правда, при этом алгоритм уже нельзя рассматривать как статистический, а можно говорить об эвристическом алгоритме распознавания образов.

П р и м е р. У двух команд: тяжелоатлетов и легкоатлетов произошли изменения в составе. В результате оказалось, что команды неукомплектованы. И для укомплектования команд была набрана группа наилучших спортсменов из спортивных клубов. Необходимо распределить молодых людей по командам при условии, что тяжелоатлетам необходимы юноши с размерами бицепсов 40-50 см и весом от 90-120 кг, а легкоатлетам требуются юноши с размерами бицепсов 25-40 см и весом 60-80 кг.

Таким образом мы имеем два образа: тяжелоатлеты и легкоатлеты. Для каждого образа измерены два свойства: размер бицепсов и вес. Нам известна часть представителей из этих образов и значение их свойств (табл. 2). Требуется отнести объекты МЭ к одному из образов.

	Образ тяжелоатлета				Образ легкоатлета				Материал экзамена
	Бицепсы	Вес	N		Бицепсы	Вес	N		Бицепсы	Вес	N
1	46	92	1	21	25	76	2	41	32	77	0
2	48	98	1	22	40	71	2	42	31	96	0
3	41	92	1	23	28	78	2	43	37	72	0
4	42	95	1	24	33	70	2	44	33	78	0
5	41	91	1	25	29	77	2	45	49	101	0
6	50	108	1	26	37	72	2	46	47	67	0
7	43	115	1	27	37	77	2	47	46	110	0
8	42	111	1	28	35	61	2	48	43	110	0
9	49	99	1	29	33	68	2	49	39	106	0
10	47	99	1	30	32	66	2	50	42	92	0
11	44	91	1	31	40	64	2	51	45	102	0
12	40	120	1	32	39	67	2	52	31	106	0
13	43	93	1	33	30	73	2	53	26	113	0
14	49	104	1	34	29	80	2	54	29	68	0
15	45	91	1	35	40	69	2	55	34	101	0
16	41	85	1	36	40	68	2	56	46	108	0
17	48	82	1	37	32	62	2	57	32	120	0
18	47	101	1	38	29	66	2	58	29	93	0
19	43	86	1	39	36	77	2	59	32	70	0

табл. 2

115

103

1. Вычисляем математическое ожидание для каждого образа. Для образа тяжелоатлетов:

44.45

98.4

Для образа легкоатлетов:

36.75

94.65

2. Вычисляем также для каждого образа матрицу ковариаций.

Матрица ковариации для образа тяжелоатлетов:

10.3475	-3.88
-3.88	109.84

Матрица ковариации для образа легкоатлетов:

48.9875	12.8625
12.8625	264.3275

3. Вычисляем среднюю и обратную матрицы ковариаций:

Средняя матрица ковариации:

29.6675	4.4913
4.49125	187.08

Обратная матрица ковариации:

0.03383	-8E-04
-0.0008	0.0054

4. Вычисляем коэффициенты и .

B		p
0.25744		-11.8
0.01386

5. Вычисляем дискриминантную функцию, проводим распознавание на всех объектах и вычисляем ошибки 1-го и 2-го рода на материале обучения. В табл. 3 приведены результаты вычислений.

табл. 3

	Бицепсы	Вес	N	D(x)	Распозн.	Ошибки
35	40	69	2	82.9499	2	0
36	40	68	2	82.9499	2	0
37	32	62	2	97.8396	2	0
38	29	66	2	103.423	2	0
39	36	77	2	90.3948	2	0
40	31	75	2	99.7009	2	0
41	32	77	0		2
42	31	96	0		2
43	37	72	0		2
44	33	78	0		2
45	49	101	0		1
46	47	67	0		2
47	46	110	0		1
48	43	110	0		1
49	39	106	0		1
50	42	92	0		1
51	45	102	0		1
52	31	106	0		1
53	26	113	0		1
54	29	68	0		2
55	34	101	0		1
56	46	108	0		1
57	32	120	0		1
58	29	93	0		2
59	32	70	0		2
60	32	103	0		1

Таким образом, для данной задачи распознавание с помощью алгоритма Дискриминантная функция дало нулевую ошибку 1-го и 2-го рода.

Графическая иллюстрация к данной задаче представлена на рис. 5.12.

Содержание