logo
ммпур методичка

Различные схемы реализации метода Гаусса.

При решении систем уравнений методом Гаусса важным моментом является выбор разрешающего элемента. В предыдущем примере в качестве разрешающего элемента мы выбирали элементы главной диагонали исходной матрицы. Но совершенно очевидно, что возможны и другие варианты.

На рисунке изображены несколько схем реализации метода Гаусса для матрицы размерности 3 x 3 :

Выбор разрешающего элемента влияет на точность вычислений. Это утверждение легко проверить, если разрешить некую систему уравнений методом Гаусса по различным схемам выбора разрешающего элемента и сравнить значения невязки, которые получаются в каждом случае.

В том случае, когда нам нужно решить несколько однотипных систем линейных уравнений, возникает естественное желание неким образом автоматизировать данный процесс. Для этого рекомендуется создать макрос решения системы уравнений методом Гаусса с пустой исходной таблицей. После выполнения макроса исходную таблицу можно заполнять различными начальными данными и результаты вычислений фиксировать на отдельном листе.

Ï ð è ì å ð 2. Составить макрос для решения методом Гаусса системы линейных уравнений размерности 4 x 4.

Р е ш е н и е .

A1

A2

A3

A4

A0

Исходная

матрица

A1

A2

A3

A4

A0

Шаг 1

=A3/$A$3

=B3/$A$3

=C3/$A$3

=D3/$A$3

=E3/$A$3

=A4-A10*$A$4

=B4-B10*$A$4

=C4-C10*$A$4

=D4-D10*$A$4

=E4-E10*$A$4

=A5-A10*$A$5

=B5-B10*$A$5

=C5-C10*$A$5

=D5-D10*$A$5

=E5-E10*$A$5

=A6-A10*$A$6

=B6-B10*$A$6

=C6-C10*$A$6

=D6-D10*$A$6

=E6-E10*$A$6

A1

A2

A3

A4

A0

Шаг 2

=A10-A18*$B$10

=B10-B18*$B$10

=C10-C18*$B$10

=D10-D18*$B$10

=E10-E18*$B$10

=A11/$B$11

=B11/$B$11

=C11/$B$11

=D11/$B$11

=E11/$B$11

=A12-A18*$B$12

=B12-B18*$B$12

=C12-C18*$B$12

=D12-D18*$B$12

=E12-E18*$B$12

=A13-A18*$B$13

=B13-B18*$B$13

=C13-C18*$B$13

=D13-D18*$B$13

=E13-E18*$B$13

A1

A2

A3

A4

A0

Шаг 3

=A17-A26*$C$17

=B17-B26*$C$17

=C17-C26*$C$17

=D17-D26*$C$17

=E17-E26*$C$17

=A18-A26*$C$18

=B18-B26*$C$18

=C18-C26*$C$18

=D18-D26*$C$18

=E18-E26*$C$18

=A19/$C$19

=B19/$C$19

=C19/$C$19

=D19/$C$19

=E19/$C$19

=A20-A26*$C$20

=B20-B26*$C$20

=C20-C26*$C$20

=D20-D26*$C$20

=E20-E26*$C$20

A1

A2

A3

A4

A0

Шаг 4

=A24-A34*$D$24

=B24-B34*$D$24

=C24-C34*$D$24

=D24-D34*$D$24

=E24-E34*$D$24

=A25-A34*$D$25

=B25-B34*$D$25

=C25-C34*$D$25

=D25-D34*$D$25

=E25-E34*$D$25

=A26-A34*$D$26

=B26-B34*$D$26

=C26-C34*$D$26

=D26-D34*$D$26

=E26-E34*$D$26

=A27/$D$27

=B27/$D$27

=C27/$D$27

=D27/$D$27

=E27/$D$27

Полученный результат

X1

X2

X3

X4

=E31

=E32

=E33

=E34

Оценка точности вычислений

A1

A2

A3

A4

SUM

A0

(A0-SUM)^2

=A17*$A$38

=B17*$A$38

=C17*$A$38

=D17*$A$38

=СУММ(A42:D42)

=E3

=(F42-E42)^2

=A18*$B$38

=B18*$B$38

=C18*$B$38

=D18*$B$38

=СУММ(A43:D43)

=E4

=(F43-E43)^2

=A19*$C$38

=B19*$C$38

=C19*$C$38

=D19*$C$38

=СУММ(A44:D44)

=E5

=(F44-E44)^2

=A20*$D$38

=B20*$D$38

=C20*$D$38

=D20*$D$38

=СУММ(A45:D45)

=E6

=(F45-E45)^2

Величина невязки:

R(x)

=СУММ(G42:G45)