Геометрическая интерпретация задачи
Рассмотрим задачу с параметром в свободных членах системы ограничений на плоскости (двумерный случай). Для каждого значения найти неотрицательный вектор , минимизирующий линейную функцию при ограничениях
Рис. 2
Положим, что и изобразим условия задачи на рис. 2. Пусть на рис. 2 уравнению граничной прямой, содержащей параметр в свободном члене системы ограничений, соответствует прямая (L), проходящая через вершины A и E. Тогда величина отрезка OF = соответствует . В этом случае функция Z достигает минимального значения в вершине А, образованной пересечением прямых (L) и AB, этой вершине соответствует первоначальный базис.
Увеличим значение параметра , тогда прямая (L) переместится в направлении вектора , величина отрезка OF уменьшится, а многоугольник решений расширится. При этом вершины, в которых прямая (Z) остается опорной к многоугольнику решений, а функция Z достигает минимального значения, определяются пересечением прямых AB и (L). Этим вершинам соответствует первоначальный базис, пока прямая (L) не пройдет через точку , т. е. займет положение (). Этому моменту отвечает значение параметра . Если после этого продолжать увеличивать значение параметра , то вершина , в которой Z достигает минимального значения, находится как пересечение прямой AB с осью . В этот момент произойдет переход к другому базису, и значение Z не будет зависеть от . Расширение многоугольника решений прекратится, когда прямая (L) пройдет через точку .
Для определения других возможных интервалов изменения параметра, исходя из первоначального положения прямой (L) положим, что . При этом прямая (L) начнет перемещаться в направлении, противоположном вектору , и многоугольник решений начнет сжиматься. Моменту, когда (L) пройдет через вершину B, т. е. займет положение (), соответствует значение . Если продолжать уменьшение , то вершины, в которых Z достигает минимального значения, будут образованы пересечениями прямых BC и (). Значит, при произойдет замена базиса, который и соответствует оптимальным планам, пока () не пройдет через вершину С, т. е. не достигнет положения (L3). Этому моменту соответствует значение .
Если параметру придать значение , то граничная прямая (L3) с остальными граничными прямыми AB, BC, CD, DE не образуют многоугольника решений и система ограничений превратится в несовместную, т. е. при задача не имеет решений.
Таким образом, интервалами оптимальности плана для различных значений параметра являются:
— планы не существуют;
— координаты точек ребра CB;
— координаты точек ребра ;
— координаты точки .
Пример задачи параметрического программирования.
- Математические методы системного анализа и теория принятия решений Методическое пособие
- 1. Теория принятия решений 4
- 2. Линейное программирование 9
- 3. Нелинейное программирование 42
- 4. Игровые методы обоснования решений 51
- 5. Задачи распознавания образов 62
- Предисловие
- 1. Теория принятия решений
- 1.1. Задачи, связанные с принятием решений Проблема оптимальности.
- Основные понятия и принципы исследования операций.
- Примеры задач исследования операций.
- 1.2. Математические модели операций Искусство моделирования.
- 1.3. Разновидности задач исследования операций и подходов к их решению Прямые и обратные задачи исследования операций.
- Пример выбора решения при определенности: линейное программирование.
- Проблема выбора решений в условиях неопределенности.
- Выбор решения по многим критериям.
- «Системный подход».
- 2. Линейное программирование
- 2.1. Краткое представление о математическом программировании Предмет математического программирования.
- Краткая классификация методов математического программирования.
- 2.2. Примеры экономических задач линейного программирования Понятие линейного программирования.
- Задача о наилучшем использовании ресурсов.
- Задача о выборе оптимальных технологий.
- Задача о смесях.
- Задача о раскрое материалов.
- Транспортная задача.
- 2.3. Линейные векторные пространства Основные понятия линейного векторного пространства.
- Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- Реализация метода исключения неизвестных в среде Excel.
- Различные схемы реализации метода Гаусса.
- Опорные решения системы линейных уравнений.
- 2.4. Формы записи задачи линейного программирования Основные виды записи злп.
- Каноническая форма представления задачи линейного программирования.
- Переход к канонической форме.
- 2.5. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования Определение выпуклой области.
- Геометрическая интерпретация.
- 2.6. Свойства решений задачи линейного программирования Свойства основной задачи линейного программирования.
- Графический метод решения задачи линейного программирования.
- 2.7. Симплексный метод Идея симплекс-метода.
- Теоретические обоснования симплекс-метода.
- Переход к нехудшему опорному плану.
- Зацикливание.
- Алгоритм симплекс-метода.
- 2.8. Двойственность в линейном программировании Прямая и двойственная задача.
- Связь между решениями прямой и двойственной задач.
- Геометрическая интерпретация двойственных задач.
- 2.9. Метод искусственного базиса Идея и реализация метода искусственного базиса.
- 3. Нелинейное программирование
- 3.1. Общая задача нелинейного программирования Постановка задачи.
- Примеры задач нелинейного программирования (экономические).
- Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования.
- 3.2. Выпуклое программирование Постановка задачи выпуклого программирования.
- 3.3. Классические методы оптимизации Метод прямого перебора.
- Классический метод дифференциальных исчислений.
- 3.4. Метод множителей лагранжа
- 3.5. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования Общая идея методов.
- Метод Франка-Вулфа.
- Метод штрафных функций.
- 4. Игровые методы обоснования решений
- 4.1. Предмет и задачи теории игр Основные понятия.
- Классификация выборов решений.
- Антагонистические матричные игры.
- Чистые и смешанные стратегии и их свойства.
- 4.2. Методы решения конечных игр Упрощение матричной игры.
- Решение матричной игры размерностью 22.
- Графическое решение матричной игры.
- Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.
- 4.3. Задачи теории статистических решений Игры с природой.
- Критерии принятия решений.
- 5. Задачи распознавания образов
- 5.1. Общая постановка задачи распознавания образов и их классификация Проблема распознавания.
- Обсуждение задачи опознавания.
- Язык распознавания образов.
- Априорные предположения — это записанные специальным образом, накопленные знания специалистов.
- Общая постановка задачи.
- Геометрическая интерпретация задачи распознавания.
- Классификация задач распознавания.
- 5.2. Подготовка и анализ исходных данных Общая схема решения задачи.
- Общая схема постановки и решения задачи Анализ данных с целью выбора постановки и метода решения
- 5.3. Методы опознавания образов Основные этапы процесса опознавания образов.
- Методы создания системы признаков.
- Признаковое пространство.
- Сокращение размерности исходного описания.
- Методы построения решающего правила.
- 5.4. Меры и метрики Понятие о сходстве.
- Меры сходства и метрики.
- Примеры функций мер сходства.
- 5.5. Детерминированно-статистический подход к познаванию образов Основные этапы детерминированно-статистического подхода.
- Получение исходного описания.
- Создание системы признаков.
- Сокращение размерности исходного описания.
- Нахождение решающего правила (метод эталонов).
- Коррекция решающего правила.
- 5.6. Детерминированный метод построения решающего правила (метод эталонов) Идея метода эталонов.
- Минимизация числа эталонов.
- Габаритные эталоны.
- Применение метода эталонов к частично пересекающимся образам.
- Дополнительная минимизация числа признаков.
- Квадратичный дискриминантный анализ.
- Распознавание с отказами.
- 5.8. Алгоритм голотип-1 Назначение
- Постановка задачи
- Метод решения задачи.
- Условия применимости.
- Условия применимости.
- 5.10. Алгоритм направление опробования Назначение
- Постановка задачи.
- Метод решения задачи.
- Условия применимости.
- Транспортная задача Математическая постановка.
- Постановка задачи.
- Теоретическое введение.
- Методы нахождения опорного плана транспортной задачи.
- Определение оптимального плана транспортной задачи.
- Заключение.
- Целочисленное программирование Постановки задач, приводящие к требованию целочисленности.
- Постановка задачи.
- Методы отсечения.
- Алгоритм Гомори.
- Первый алгоритм р. Гомори решения полностью целочисленных задач.
- Приближенные методы.
- Заключение.
- Параметрическое программирование Введение.
- Формулировка задачи.
- Теоретическая часть.
- Общая постановка задачи.
- Решение задачи.
- Геометрическая интерпретация задачи.
- Общая постановка задачи.
- Решение задачи.
- Геометрическая интерпретация задачи
- Постановка задачи.
- Решение.
- Геометрическое решение.
- Решение задачи симплекс-методом.
- Результат.
- Некооперативные игры n лиц с ненулевой суммой Введение.
- Теоретическая часть.
- Постановка и решение задачи.
- Заключение.
- Cписок литературы