Тема 4. Численные методы решения полевых задач

Конечно-разностные методы. Конечно-разностная аппроксимация уравнения Пуассона и граничных условий. Аппроксимация Коллатца, аппроксимация Канторовича-Шортли-Уэллера. Пример построения системы линейных уравнений конечно-разностным методом.

Вариационные методы. Вариационные принципы. Решение дифференциальных уравнений методом Ритца. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов. Пример построения системы линейных уравнений вариационным методом.

Метод конечных элементов. Аппроксимация решений уравнения Пуассона кусочно-определенными базисными функциями. Пример построения системы линейных уравнений методом конечных элементов.

Метод интегральных уравнений. Описание кусочно-гладкой границы области с прямолинейными или криволинейными отрезками. Аппроксимация граничных условий с помощью В-сплайнов. Пример построения системы линейных уравнений методом интегральных уравнений.

Сравнительные характеристики и свойства систем линейных алгебраических уравнений, полученных различными численными методами. Единственность решения. Собственные числа, собственные векторы и число обусловленности.

В рамках данной темы студенты должны изучить основные численные методы решения уравнения Пуассона с заданными граничными условиями: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и метод интегральных уравнений (МИУ), а также методы решения систем линейных алгебраических уравнений, которые возникают в результате их применения. По методу конечных разностей необходимо знать методику дискретизации для различных типов сеток (регулярных, нерегулярных, многосвязных) в различных системах координат (декартовой, цилиндрической и сферической), а также способы аппроксимации граничных условий. В методе конечных элементов основное внимание следует уделить последовательному переходу от аппроксимации функции, заданной в некоторых точках своей области определения, через понятие невязки и аппроксимацию с помощью взвешенных невязок по подобластям к понятию конечного элемента и решению дифференциального уравнения указанным методом. При изучении метода интегральных уравнений следует помнить, что его основой служит интегральная формула, полученная при решении уравнения Пуассона в общем виде с помощью теоремы Грина. Далее, основываясь на физической интерпретации каждого интеграла, входящего в эту формулу, следует отдельно рассмотреть вопрос о методах расчёта этих интегралов, учитывая размерность задачи (двухмерная или трехмерная) и возможные способы описания границ областей.