2.3. Линейные векторные пространства Основные понятия линейного векторного пространства.

В экономике приходиться изучать объекты, для задания которых необходим некий набор упорядоченных данных. Пусть, например, некоторый промышленный район производит станки, хлопчатобумажные ткани, автомобили, телевизоры и т. д. Для характеристики производства района, очевидно, потребуется упорядоченная система из n действительных чисел. В данном случае целесообразно будет обратиться к курсу аналитической геометрии.

О п р е д е л е н и е  1.  Совокупность всевозможных упорядоченных систем из n действительных чисел после введения в нее операций сложения и умножения на действительное число называется n-мерным векторным пространством.

При изучении систем векторов важную роль играет понятие линейной зависимости векторов.

О п р е д е л е н и е  2. Вектор В называется линейной комбинацией векторов A₁, A₂, ... , A_n , если существуют такие числа k₁, k₂, ... , k_n, при которых выполняется соотношение B = k₁ A₁ + k₂ A₂ + ... + k_n A_n .

О п р е д е л е н и е  3. Система векторов A₁, A₂, ... , A_r  (r > 1) называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой — в противном случае.  

Рассматривая линейно зависимую систему векторов A₁, A₂, ... , A_n , возьмем такую линейно независимую подсистему векторов A₁, A₂, ... , A_r  (r n), к которой невозможно присоединить ни одного вектора системы, не нарушив линейной независимости. Такая подсистема называется максимальной линейно независимой подсистемой данной системы векторов. Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему векторов, называется рангом системы, а сами вектора составляют базис системы.

О п р е д е л е н и е  4. Базисом  n-мерного векторного пространства называется любая совокупность n линейно независимых векторов этого же пространства.

В двумерном пространстве в качестве базиса могут быть взяты два любых неколлинеарных вектора, в трехмерном пространстве — три некомпланарных вектора, в пространстве измерений n > 3 — система из n линейно независимых векторов.

В качестве базиса удобно выбрать систему единичных векторов n-мерного векторного пространства:

(2.1)

Тогда компоненты любого n-мерного вектора можно считать координатами этого вектора в единичном базисе.