Решение матричной игры размерностью 22.

Наиболее простая матричная игра — это игра, в которой каждый из игроков имеет две стратегии. Матрица А игры имеет вид

А=.

Если седловой точки нет, то решением игры являются смешанные стратегии U=(u₁, u₂), Z=(z₁,z₂).

Согласно основной теореме теории игр, применение оптимальной стратегии U=(u₁, u₂) обеспечивает для игрока А получение выигрыша v при любых стратегиях игрока В. Оптимальная стратегия для игрока В также смешанная. Поэтому, если игрок А применяет свою оптимальную стратегию, то при этом игрок В может использовать одну из чистых стратегий, величина выигрыша игрока А останется неизменной. Запишем систему уравнений

Так как u₁+u₂=1, то решение таково:

u₁=, u₂=. (4.3)

Подставляя значения u₁ и u₂ в одно из уравнений (2.1), получаем

v=. (4.4)

Составляя аналогичную систему уравнений, можно найти оптимальную стратегию для игрока В:

z₁=, z₂= (4.5)

П р и м е р 3. Найти решение игры, заданной матрицей

А=.

Р е ш е н и е. Имеем =1, =2; матрица не имеет седловой точки. По формулам (2.3 — 2.5) находим оптимальные стратегии и цену игры:

U=(1/3; 2/3), Z=(2/3; 1/3), v=5/3.