Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе

Шаг 2. Какова цель задачи? Каковы ограничения на производственный процесс? Цель состоит в максимизации общего дохода за месяц. Объем производства ограничен размером фонда рабочего времени по каждому цеху и возможностью продажи компьютеров каждой модели.

Шаг 3. Целевая функция задачи. Пусть Р (ф. ст.) — общий доход в месяц, тогда:

Р = 15 j + 30 v + 120 m + 130 s (ф. ст. в месяц).

Шаг 4. Ограничения на производственный процесс. Для каждого цеха время, требуемое для производства j, v, m их единиц продукции соответствующих моделей увязывается с максимальной производственной мощностью данного цеха.

Цех узловой сборки: 5j + 8v +20m+25s 800 (ч/мес.)

Сборочный цех: 2j + 3v + 8m+14s 420 (ч/мес.)

Испытательный цех: 0,1 j + 0,2 v+2m+4s 150 (ч/мес.)

Спрос на "Юпитер": j 100 (ед./мес.)

Спрос на "Венеру": v 45 (ед./мес.)

Спрос на "Марс": m 25 (ед./мес.)

Спрос на "Сатурн": s 20 (ед./мес.)

Условие неотрицательности: j, v, m, s 0

Окончательная формулировка задачи линейного программирования такова:

каждый месяц производится j, v, m и s единиц компьютеров типа "Юпитер", "Венера", "Марс" и "Сатурн" соответственно. Максимизировать:

Р = 15 j + 30 v + 120m + 130 s (ф. ст. в месяц)

в условиях ограничений, указанных выше.

1. Пример 1.4.. Менеджер по ценным бумагам намерен разместить 100000 ф. ст.

капитала таким образом, чтобы получать максимальные годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций: А, В, С и D. Объект А позволяет получать 6% годовых, объект В — 8% годовых, объект С — 10%, а объект D — 9% годовых. Для всех четырех объектов степень риска и условия размещения капитала различны. Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал, менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций необходимо вложить в объекты А и В. Чтобы обеспечить ликвидность, не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в объект D. Учитывая возможные изменения в политике правительства, предусматривается, что в объект С следует вкладывать не более 20% инвестиций, тогда как особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было вложено не менее 30% капитала. Сформулируем для изложенной проблемы распределения инвестиций модель линейного программирования.

Решение

Вкладывается а ф. ст. в объект А, b ф. ст. — в объект В, с ф. ст. — в объект C u d ф. ст. — в объект D. Целью является максимизация общей суммы годовых процентов с дохода. На распределение инвестиций наложены ограничения, связанные с отсутствием риска, ликвидностью, политикой правительства и системой налогообложения. Обозначим через R общую сумму годового процентного дохода, тогда:

R = 0,06 а + 0,08 b + 0,10 с + 0,09 d (ф. ст. в год).

Максимизация целевой функции осуществляется в условиях ограничений на

Общую сумму инвестиций: a+b+c+d 100000 ф. ст.

Отсутствие риска: а + b 0,05 (а + b -Р с + d)

Ликвидность : d 0,25 (а + b + с + d)

Правительственную политику: с 0,2 (а + b + с + d)

Систему налогообложения: а 0,3 (а + b + с + d) ,

Неотрицательность: а, b, с, d 0.

Чтобы решить задачу линейного программирования, ограничения обычно преобразовывают таким образом, чтобы переменные находились только в левой части любого неравенства. Результаты этого преобразования представлены ниже. Окончательная форма задачи линейного программирования имеет следующий вид:

Вкладывается а ф. ст. в объект А,

b ф. ст. в объект В,

с ф. ст. в объект С,

d ф. ст. в объект D.

Максимизируется общая сумма годового процентного дохода, т.е.:

R=0,06 а + 0 ,08 b + 0,10 с + 0,09 d (ф. ст. в год)

в условиях следующих ограничений (ф. ст.):

Общая сумма инвестиций: а + b + с + d 100000

Отсутствие риска: 0,5 а + 0,5 b - 0,5 с - 0,5 d 0

Ликвидность: - 0,25 а - 0,25 b - 0,25 с + 0,75d 0

Правительственная

политика: -0,2 a - 0,2 b + 0,8 с - 0,2 d 0

Система налогообложения: 0,7 а - 0,3 b - 0,3 с - 0,3 d 0

Условие неотрицательности: а, b, с, d 0

Во всех четырех приведенных выше примерах целевую функцию требовалось максимизировать. На стадии постановки задачи процедура не меняется, если целью является минимизация некоторого показателя. Примеры таких задач приводятся в конце данной главы.