1.4.1. Воздействие изменений в обеспечении лимитирующим ресурсом на решение задачи линейного программирования

Поскольку один или несколько ресурсов используются полностью, значение целевой функции ограничено. Если появляется дополнительное количество лимитирующего ресурса, то оптимальное решение может быть улучшено. Однако необходимо принять во внимание, что изменение оптимального решения приведет к улучшению значения целевой функции только в том случае, если сумма дополнительных издержек по обеспечению дополнительным количеством ресурса не превышает сумму прибыли, полученной в результате его использования.

С увеличением объема лимитирующего ресурса соответствующее ограничение становится менее жестким. Так как жесткость лимитирующего ограничения постепенно снижается, его график будет перемещаться параллельно своему начальному положению, одновременно будет происходить перемещение оптимальной крайней точки в направлении, которое улучшает значение целевой функции. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока какой-либо другой ресурс не будет полностью использован и рассматриваемое ограничение перестанет быть лимитирующим. Величина, на которую увеличивается значение целевой функции при снижении жесткости лимитирующего ограничения на единицу, т.е. при увеличении количества лимитирующего ресурса на единицу, называется теневой ценой ресурса. Теневая цена ресурса — это стоимость единицы данного ресурса в оптимальном решении. Увеличение объема лимитирующего ресурса на единицу целесообразно только в том случае, если существует возможность его получения по стоимости, которая ниже, чем теневая цена данного ресурса.

Пример 1.6. Обратимся к примерам 1.2 и 1.5. Из примера 1.5 мы знаем, что лимитирующими являются ограничения на фонд рабочего времени и на листовой металл. Рассмотрим сначала последнее из указанных ограничений. Обратимся к графику, изображенному на рис. 1.16. Жесткость ограничения на листовой металл снижается по мере перемещения линии ограничения параллельно ее исходному положению в противоположном направлении от начала координат. Допустимое множество расширяется, а оптимальная крайняя точка перемещается вниз то линии ограничения на фонд рабочего времени, что увеличивает х и уменьшает у. Снижение жесткости ограничения на листовой металл является эффективным до тех пор, пока линия ограничения не достигнет точки пересечения ограничений на фонд рабочего времени и производственные мощности для деталей типа X, т.е. точки В. Если и далее снижать жесткость ограничения на листовой металл, оно перестанет быть лимитирующим, что приведет к появлению остатка в виде неиспользованного листового металла.

Новой оптимальной крайней точкой является теперь точка В. Координаты точки В можно определить, решив систему уравнений для ограничений на фонд рабочего времени и производственные мощности для детали X.

Фонд рабочего времени: х + 2 у = 4000 чел.-ч в неделю;

Производственные мощности для X: х = 2250 деталей в неделю.

Так как х = 2250, то подставив его в первое уравнение, найдем значение у:

2250 + 2 у = 4000,

следовательно, у = 875 деталей.

Новым оптимальным ассортиментным набором является производство 2250 деталей типа Х и 875 деталей типа Y в неделю. Этот ассортиментный набор дает максимальный доход, равный 30 х 2250 + 40 х 875 ⁼ 102500 ф. ст. в неделю, таким образом, увеличение дохода составит: 102500-95000 = 7500 ф. ст. в неделю. Количество листового металла, используемое для производства данного ассортиментного набора, равно:

5 х 2250 + 2 х 875 = 13000 кг в неделю.

Оно превышает начальное количество на 3000 кг в неделю. В новой оптимальной точке фонд рабочего времени и производственные мощности для деталей Х также используются максимально.

Дополнительное количество листового металла — 3000 кг — позволяет получать дополнительный доход, равный 7500 ф. ст. в неделю, следовательно, теневая цена данного ресурса составит: 7500 : 3000 =• 2,50 ф. ст. за 1 кг. Каждый дополнительный килограмм листового металла ведет к увеличению еженедельного дохода в 2,50 ф. ст. Из этого следует, что сверхнормативный запас этого ресурса целесообразен только в случае, если стоимость получения любого дополнительного количества ресурса не превышает 2,50 ф. ст. за 1 кг ресурса.

Предположив, что ограничение на листовой металл остается неизменным, применим аналогичную процедуру ко второму лимитирующему ограничению.

Если жесткость ограничения на фонд рабочего времени снизилась на единицу, т.е. появилась возможность использовать 1 чел.-ч рабочего времени дополнительно, то тогда данное ограничение принимает вид:

x + 2y 4001.

Данное ограничение параллельно первоначальному, но его линия находится дальше от начала координат по сравнению с исходной линией. Из приведенного выше графика легко видеть, что точка пересечения ограничения на листовой металл и нового ограничения на фонд рабочего времени все еще является оптимальной крайней точкой. В данном случае оптимальным решением является точка с координатами х = 1499,75 и у = 1250,625, что приводит и к значению целевой функции Рmах ⁼ 95017,50 ф. ст. Таким образом, значение целевой функции увеличилось на 17,50 ф. ст. Теневая цена фонда рабочего времени составляет 17,50 ф. ст. за 1 чел.-ч. Если можно получить один дополнительный час рабочего времени за дополнительные 17,50 ф. ст. или менее, то это необходимо использовать. Если же стоимость 1 чел.-ч. превышает 17,50 ф. ст., то дополнительное количество рабочего времени использовать нецелесообразно.

Какое количество дополнительного рабочего времени следует купить? Поскольку линия ограничения на фонд рабочего времени движется параллельно своему исходному положению в направлении от начала координат, она стремится к точке пересечения ограничений на листовой металл и металлические стержни к точке С. Если и далее снижать жесткость ограничения на фонд рабочего времени, то оно перестанет быть лимитирующим, и дальнейшее привлечение дополнительного рабочего времени нецелесообразно. Максимальное число дополнительных человеко-часов можно определить, решив систему ограничений, линии которых пересекаются в точке С:

Листовой металл: 5 х + 2 у = 10000;

Металлические стержни: 2 х + 5 у = 10000.

Ее решением являются следующие значения переменных:

х = 10000/7 и у = 10000/7 деталей в неделю.

Число используемых в точке С человеко-часов равно:

х + у = 10000/7 + 2 (10000/7) = 4285.7 чел.-ч в неделю.

Это значение на 285,7 чел.-ч превосходит первоначальное максимальное значение 4000 чел.-ч. Получение максимального сверхнормативного запаса в 285,7 чел.-ч в неделю целесообразно при условии, что стоимость единицы дополнительного человеко-часа не превосходит 17,50 ф. ст. .в неделю. Если сверхнормативное количество часов рабочего времени используется максимально, то новое максимальное значение еженедельного дохода составит:

P_max = 30 х 10000/7 + 40 х 10000/7 - дополнительная стоимость =

= (100000 - дополнительная стоимость) ф. ст. в неделю.

Важно уяснить, что из дохода вычитаются только те издержки, которые не фигурируют в исходной постановке задачи. Предположим, например, что при производстве автомобильных деталей стоимость одного часа рабочего времени равна 4,00 ф. ст. При расчете дохода, приходящегося на единицу деталей каждого типа, бухгалтер будет использовать именно эту стоимость. Если привлекается дополнительный фонд рабочего времени, к примеру, сверхурочная работа, по 6,00 ф. ст. за 1 чел.-ч, то из них 4,00 ф. ст. уже учтены в показателях единичного дохода. Отдельно в счет нужно внести только дополнительные 2 ф. ст. за час.