1. Формула 1.

(1.13)

Числа S(n, k) играют обратную роль по отношению к числам s(n, k) - позволяют перейти от базиса 1, x, x²,... к базису

Доказательство. Рассмотрим всевозможные отображения множества X из n элементов ( |X| = n) во множество Y из m элементов (|Y| = m). С одной стороны, по утверждению 1 .1 количество таких отображений есть mⁿ . С другой стороны, каждое такое отображение есть сюръективное отображение множества X на подмножество BY. Для произвольного подмножества B Y, где |B| = k  n число сюръективных функций f: XB в соответствии с утверждением 1 .12 равно k! S(n,k). Учитывая, что подмножество B мощности k можно выбрать способами получаем формулу:

(1.14)

Равенство ( 1 .14) можно рассматривать как равенство двух многочленов переменной x при всех целых положительных значениях x = m. Следовательно, эти многочлены тождественно равны между собой, так как их разность может быть либо тождественным нулем, либо должна иметь бесконечное число нулей, что невозможно. Справедливость формулы ( 1 .13) доказана. 