флеров

Полиномиальные коэффициенты

Утверждение 1.9. Пусть X множество n различных объектов и пусть n₁, n₂,..., n_p неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию n₁+ n₂ + ... +n_p= n; количество размещений n объектов по ячейкам Y₁,...,Y_p, при которых каждая ячейка содержит n₁, n₂, ..., n_p объектов соответственно, есть

Доказательство. Пусть n₁ + n₂ + ...+ n_p = n. Ящик Y₁ можно наполнить различными способами, после чего ящик Y₂ можно наполнить способами и так далее.

Следовательно, искомое число размещений равно



Утверждение 1.10. Производящая функция для полиномиальных коэффициентов имеет следующий вид:

(1.10)

Доказательство. Для доказательства справедливости равенства ( 1 .10) достаточно заметить, что коэффициент при равен числу способов выбрать из n сомножителей n₁ сомножителей, из которых в произведение войдет переменная x₁ , n₂ сомножителей, из которых в произведение войдет переменная x₂ , и так далее. 

Следствие 1.

(1.11)

Для доказательства следствия 1 достаточно заметить, что

Отсюда следует равенство коэффициентов при соответствующих степенях в левой и правой частях последнего равенства:

Следствие 2.

Указанное равенство есть непосредственное следствие следующего соотношения для производящих функций:

Следствие 3.

Равенство следствия 3 непосредственно вытекает из вида производящей функции для полиномиальных коэффициентов, если в ( 1 .10) положить:

x₁ = x₃ = x₅ = ... = +1 ,

x₂=x₄ = x₆ = ... = –1 . 

Содержание