флеров

Элементарные высказывания

В логике под “высказыванием” понимают то, что выражается, как говорят в лингвистике, посредством осмысленного утвердительного предложения, то есть повествовательного предложения, о котором можно (по крайней мере в пределах определенного контекста) говорить, что оно истинно или ложно.

Примеры элементарных высказываний:

Снег белый.

Париж - столица Италии.

Все люди смертны.

Сократ - человек.

Если снег горит, то остается зола.

Если на улице идет дождь, то влажность выше, чем при солнечной сухой погоде.

Не всякое предложение является высказыванием. Так, к высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла. Предложения “Шел снег”, “Площадь комнаты равна 20 м²”, “а² = 4” не являются высказываниями; для того, чтобы имело смысл говорить об их истинности или ложности, нужны дополнительные сведения: когда и где шел снег, о какой конкретной комнате идет речь, какое число обозначено буквой а. В последнем примере а может не обозначать конкретного числа, а быть переменной, вместо которой можно подставлять элементы некоторого множества, называемые значениями переменной.

Из двух данных предложений можно образовать новое предложение с помощью союзов “и”, “или”, “если ... то”, “тогда и только тогда, когда”. С помощью частицы “не” или словосочетания “неверно, что” из одного данного предложения можно получить новое. Союзы “и”, “или”, “если ... то”, “тогда и только тогда, когда” и частицу “не” называют логическими связками.

В высказывании нас прежде всего интересует его истинностное значение, то есть является оно истинным или ложным. Чтобы ответить на этот вопрос, нам ничего не надо знать о составляющих высказываниях, кроме их истинностных значений. Эта информация полностью определяет истинностное значение сложного высказывания.

Для обозначения лжи мы будем использовать символ 0, а для обозначения истины- символ 1.

Элементарные высказывания, таким образом, мы будем обозначать символами переменных, принимающих значения 0 или 1. Такие переменные будем называть логическими или булевыми переменными.

Пусть U={u₁, u₂, ..., u_n, ...} - исходный алфавит переменных. Чтобы избежать сложных обозначений для индексов переменных, мы будем употреблять в качестве метаобозначений (обозначений для произвольных символов алфавита U) символы x, y, z, ..., а также эти и другие символы с индексами.

Итак, логические переменные (элементарные высказывания) имеют вид:

x,y,z,..;

x₁,x₂ ,x₃ ,...;

Содержание