14) Определитель третьего порядка и его вычисления

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d_{2 (1)}

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

и покажем, как решение этой системы приводит к определителю третьего порядка.

Умножим обе части первого уравнения системы (1) на l₁, второго l₂, на третьего на l₃, и сложим полученные уравнения:

(a₁l₁ + a₂l₂ + a₃l₃)x +(b₁l₁ + b₂l₂ + b₃l₃)y + (c₁l₁ + c₂l₂ + c₃l₃)z = d₁l₁ + d₂l₂ + d₃l₃ (2)

Выберем l₁, l₂, l₃ так, чтобы коэффициенты при y и z в уравнении (2) равнялись нулю:

b₁l₁ + b₂l₂ + b₃l₃ = 0

c₁l₁ + c₂l₂ + c₃l₃ = 0

или

b₁l₁ + b₂l₂ = - b₃l₃

c₁l₁ + c₂l₂ = - c₃l₃

(3)

Решив систему (3) c помощью алгоритма предыдущего параграфа, найдем l₁, l₂:

Здесь предполагается, что определитель не равен нулю.

Найденные значения l₁,l₂ подставим в уравнение (2), тогда получим(a₁(b₂c₃ - b₃c₂) + a₂(b₃c₁ - b₁c₃) + a₃(b₁c₂ - b₂c₁))x = d₁(b₂c₃ - b₃c₂) + d₂(b₃c₁ - b₁c₃) + d₃(b₁c₂ - b₂c₁)

Отсюда следует, что

если a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ - a₁b₃c₂ - a₂b₁c3 - a₃b₂c₁ № 0

Подобным образом можно найти значения остальных неизвестных.

Определение Определителем третьего порядка, составленным из таблицы

a1 b1 c1 (4)

a2 b2 c2

a3 b3 c3

девяти чисел, называется число

(5)

.

Числа, составляющие таблицу (4), называются элементами определителя третьего порядка.

Диагональ сверху вниз направо в этой таблице называется главной диагональю, а диагональ сверху вниз налево - побочной.

Определитель третьего порязка, составленный из таблицы девяти чисел, представляет собой алгебраическую сумму шести произведений; три произведения берутся со знаком + и три произведения - со знаком -.

Со знаком + берется произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к главной диагонали, с добавлением третьего множителя их противоположного угла таблицы.

Со знаком - берется произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к побочной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы.