8) Квадратные неравенства и способы их решения

Под квадратным неравенством понимается неравенство, которое может быть приведено к одному из следующих неравенств:

ax²+bx+c>0,

ax²+bx+c<0,

ax²+bx+c≥0,

ax²+bx+c≤0,

где a,b,c - некоторые действительные числа и a/=0.

Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства

x2<m и x2>m

Множество решений неравенства x2<m:

1) при m≤0 x=∅ (т. е. нет решений);

2)при m>0 x=(−√m;√m), т.е. −√m<x<√m,

Множество решений неравенства x2>m:

1) при m<0 x=R (т.е. x - любое действительное число);

2) при m>0 x=(−∞;−√m)⋃(√m;+∞), т.е. −∞<x<−√m и √m<x<+∞,

Квадратное неравенство ax²+bx+c>0 в зависимости от значений своих коэффициентов a,b,c имеет множества решений:

1) при a>0, D=b2−4ac≥0

X=(−∞;2a−b−√D)⋃(2a−b+√D;+∞);

2) при a>0, D<0 x=R;

3) при a<0, D≥0

X=(2a−b−√D;2a−b+√D)

4) при a<0, D<0x=∅ (т. е. нет решений);

Решение неравенства ax²+bx+c<0 сводится к решению рассмотренного выше неравенства, если обе части неравенства умножить на −1.

Множество решений нестрогих неравенств ax²+bx+c≥0 и ax²+bx+c≤0 находится как объединение множеств решений соответствующих строгих неравенств и уравнения ^ax2+bx+c=0.