31. Ценность информации. Модель решетки ценностей.

4. Модель решетки ценностей. Обобщением порядковой шкалы является модель решетки. Пусть дано SC - конечное частично упорядоченное множество относительно бинарного отношения <, т.е. для каждых А, В, С выполняется

1) рефлексивность: А<А,

2) транзитивность: А<В, В<С==>А<С,

3) антисимметричность: А<В, В<А => А=В.

Определение. Для А, BSC элемент C=ABSCназывается наименьшей верхней границей (верхней гранью), если

1) А<С, В<С;

2) A<D, B<DC<D для всех DSC.

Элемент AB, вообще говоря, может не существовать. Если наименьшая верхняя граница существует, то из антисимметричности следует единственность.

Определение. Для А, BC элемент E=ABSCназывается наибольшей нижней границей (нижней гранью), если

1) Е<А, Е<В;

2) D<A, D<BD<E.

Эта граница также может не существовать. Если она существует, то из антисимметричности следует единственность.

Определение. (SC, <) называется решеткой, если для любых А, BSC существует ABSC и ABSC.

Лемма. Для любого набора S={А₁,...,А_n } элементов из решетки SC существуют единственные элементы,:

S=A₁...A_n - наименьшая верхняя граница S;

S=A₁...A_n - наибольшая нижняя граница S.

Доказательство. Докажем ассоциативность операции .

C₁=(A₁A₂) A3=A1(A₂A₃)=C₂.

По определению C₁>A₃, C₁>A₁A₂. Отсюда следует С₁>Аз, С₁>A₂, С₁>А₁. Тогда C₁>A₂A₃, С₁>А₁, cледовательно, С₁>С₂. Аналогично С₂>С₁. Из антисимметричности С₁=С₂.

Отсюда следует существование и единственность S. Такими же рассуждениями доказываем, что существует S и она единственна. Лемма доказана.

Для всех элементов SC в конечных решетках существует верхний элемент High = SC, аналогично существует нижний элемент Low = SC.

Определение. Конечная линейная решетка - это линейно упорядоченное множество, можно всегда считать {0, 1 ,..., n}=SC .

Для большинства встречающихся в теории защиты информации решеток существует представление решетки в виде графа. Рассмотрим корневое дерево на вершинах из конечного множества Х={Х₁, Х₂...Х_n }с корнем в X_i. Пусть на единственном пути, соединяющем вершину X₁ с корнем, есть вершина X_j. Положим по определению, что Х_i<Х_j. Очевидно, что таким образом на дереве определен частичный порядок. Кроме того, для любой пары вершин X_i и X_j существует элемент Х_iХ_j, который определяется точкой слияния путей из X_i и X_j в корень. Однако такая структура не является решеткой, т.к. здесь нет нижней грани. Оказывается, что от условия единственности пути в корень можно отказаться, сохраняя при этом свойства частичного порядка и существование верхней грани. Например, добавим к построенному дереву вершину L, соединив с ней все концевые вершины. Положим i=l,...,n, L<X_j. Для остальных вершин порядок определяется как раньше. Построенная структура является решеткой.

Не всякий граф определяет решетку.