1.4.2 Геометрическая интерпретация метода множителей Лагранжа

Интерес представляют геометрический смысл множителей Лагранжа. Для такой интерпретации лучше рассмотреть задачу с двумя неизвестными и одним ограничением.

Пусть требуется найти минимум функции при условии. Если минимум существует, то в пространстве функцияQ должна иметь вид воронки, а условие связи – это некоторая поверхность.

На рис. 4, б изображены на плоскости переменныхu1,u2 линии уровня функцииQ (u1,u2) и ограничениеφ (u1,u2) = 0, представляющее собой линию. Составляется вспомогательная функцияQ (u1,u2) =Q (u1,u2) +λφ (u1,u2). Необходимое условие экстремума дает:

Рисунок 1.4 –Геометрический смысл множителей Лагранжа:

а – пространственное изображение;

б – изображение проекции на плоскость u2 – u1

или

В точке А – точке касания линиис линией равного уровня функциииимеют общую касательную и необходимое условие минимума представляет собой условие пропорциональности двух векторов: вектора – градиента функциии вектора– градиента функции

Два вектора пропорциональны друг другу лишь в том случае, если они коллинеарные. Так как градиент функции перпендикулярен касательной к линии уровня, то в точке А выполняется условие, и множитель является коэффициентом пропорциональности между векторами и