3.4. Расчет корреляционной размерности восстановленного аттрактора

Размерность восстановленного аттрактора можно рассматривать как меру стохастичности процесса – чем она меньше, тем сильнее этот процесс детерминирован [29-35, 41-45].

Существуют различные подходы к оценке этой размерности. Наиболее распространен параметр, который называется корреляционной размерностью или размерностью второго порядка (D2). Вычисление D2 основано на методе корреляционных сумм [29, 33, 43]. Исследуется некоторая точка x_i, принадлежащая траектории аттрактора, восстановленного в фазовом пространстве, и рассчитывается, сколько точек траекторий этого аттрактора отстоят от нее на расстояние, не превышающем некоторую заданную величину ε. Процедура повторяется для следующей точки и т.д. В результате вычисляется некоторая величина:

,

где θ(x) – функция Хевисайда: . ЗависимостьC(ε) называется интегральной корреляционной функцией аттрактора. Очевидно, что C(ε) растет с увеличением ε. При этом, если восстановленный аттрактор одномерен, то C(ε) ~ ε, если он представляет собой поверхность, то C(ε) ~ ε²; в общем же случае можно записать:

,

где D – размерность восстановленного аттрактора. Ограничением метода является то, что это равенство выполняется только при сравнительно малых ε. Полученное выражение приводится к виду

Таким образом, размерность восстановленного аттрактора можно определить как наклон линейного участка графика зависимости logC(ε) от logε. Для того чтобы корректно определить D2 описанным способом, необходимо правильно подобрать величину задержки τ и внедренную размерность фазового пространства D_emb.

Процедуру вычисления D2 можно разбить на три этапа:

1. Вычисление C(ε) для различных значений D_emb;

2. Поиск линейного участка зависимости logC(ε) от log(ε) и определение его наклона для каждого значения D_emb;

3. Определение оптимального значения D_emb и соответствующей ему величины D2.

При работе с реальными процессами, в частности, с процессами электрической активности головного мозга, необходимо учитывать особенности сигнала, описанные ниже:

• исследуемый процесс должен быть стационарным. ЭЭГ, снимаемая длительное время, не является стационарным процессом, так как в ней находит свое отражение постоянное изменение условий внешней и внутренней среды организма;

• в результате исследования ЭЭГ обрабатывается временная последовательность ограниченной длины, в то время, как теоремы, касающиеся вычисления D2, сформулированы и доказаны для бесконечных последовательностей; в частности, это касается проблемы выбора величины задержки τ.

Рассмотрим некоторые способы их преодоления.

Если говорить о стационарности процесса, то это требование можно считать практически соблюденным в пределах участка ЭЭГ продолжительностью до 1 с [20, 23, 27, 28, 32, 33]. При больших длительностях регистрации может возникать погрешность. В одних случаях ее можно расценивать как случайную, а в других – как систематическую, подбирая соответствующие методы статистической обработки результатов. Здесь все зависит от условий и задач эксперимента.

Следующая проблема возникает в связи с конечностью обрабатываемого ряда. Эти проблемы можно решать двумя способами: во-первых, используя для анализа достаточно длинный ряд, чтобы его можно было считать бесконечным, и, во-вторых, путем модификации классического алгоритма вычислений.

В первом случае существуют различные критерии [29, 30, 31, 34, 35], определяющие минимальную длину ряда, позволяющую избегать систематических ошибок при вычислении. Например, критерий А. Цониса определяет минимальную длину ряда , гдеD – предполагаемая корреляционная размерность восстановленного аттрактора. Согласно другим критериям и. Наконец, есть мнение, что минимальная длина ряда зависит не только от параметров размерности, но и от скоррелированности процесса:(здесьτ – время, за которое автокорреляционная функция достигает первого нуля или минимума).

Нетрудно заметить, что для выполнения этих требований может потребоваться запись ЭЭГ, содержащая порядка 100000 отсчетов, а то и больше. При частоте выборки 250 Гц время записи такой ЭЭГ составит 6-7 минут, что недопустимо с точки зрения требования к стационарности процесса.

Чтобы избежать или минимизировать описанные погрешности, был предложен и описан в разделе 3.2 тест на нелинейность методом суррогатных данных. Выбирая участки ЭЭГ, для которых коэффициент корреляции между характеристиками, построенными для исследуемого сигнала и суррогатных данных, составляет 0,6 и выше, позволит гарантированно исследовать сигнал, отражающий «хаотичность» процесса электрической активности мозга.

Примеры расчетов корреляционной размерности представлены на рис. 3.57 – 3.72. Использовался программный пакет NLyzer [56]. Здесь: C(ε) – интегральная корреляционная функция аттрактора; ε – расстояние от некоторой точки x_i, принадлежащей аттрактору, восстановленному в фазовом пространстве, до некоторых точек восстановленного аттрактора, мВ; D2 ~ logC(ε)/log ε – размерность восстановленного аттрактора. На рис. 3.57 – 3.72 приведены семейства кривых, соответствующих значениям внедренной размерности от 2 до 9. Жирной прямой на графиках показан линейный участок зависимости logC(ε), по которому вычислялось значение D2.

Женщины:

Рисунок 3.57. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «невралгия».

Рисунок 3.58. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «рассеянный склероз».

Рисунок 3.59. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «рассеянный склероз».

Рисунок 3.60. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для условно здорового пациента.

Рисунок 3.61. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для условно здорового пациента.

Рисунок 3.62. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для условно здорового пациента.

Рисунок 3.63. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для условно здорового пациента.

Мужчины:

Рисунок 3.64. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «лудомания».

Рисунок 3.65. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «лудомания».

Рисунок 3.66. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «лудомания».

Рисунок 3.67. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «лудомания».

Рисунок 3.68. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «лудомания».

Рисунок 3.69. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для диагноза «лудомания».

Рисунок 3.70. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для условно здорового пациента.

Рисунок 3.71. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для условно здорового пациента.

Рисунок 3.72. Логарифмическая зависимость корреляционной суммы C(ε) от заданного интервала ε для условно здорового пациента.

После того как для каждого значения D2 вычислена размерность восстановленного аттрактора, необходимо выбрать оптимальную ее величину. В случае идеального сигнала это не трудно. Однако при работе с ЭЭГ наличие шумов приводит к тому, что выраженного насыщения зависимости D2(D_emb) не наступает [29, 30, 34].

Самое простое, что можно сделать в этом случае – задаться размерностью пространства вложения заведомо большей, чем предполагаемая размерность восстановленного аттрактора, и использовать ее для всех вычислений в рамках одного эксперимента [29, 39, 54, 67, 68, 114]. Полученная в результате величина хоть и не является D2 в строгом смысле, но вполне пригодна для внутригрупповых сравнений.

Накопленный на сегодняшний день опыт исследований [39, 47-54, 67, 68, 114] показывает, что в зависимости от применяемых методов вычислений и условий эксперимента корреляционная размерность D2 для ЭЭГ принимает значения от 4 до 8. Если говорить о верхнем ограничении величины D2, то здесь нужно помнить о том, что с возрастанием D_emb сильно увеличивается время, затрачиваемое на вычисление С(ε). В связи с этим есть смысл задаваться величиной D_emb в пределах 10-15. В некоторых исследованиях D2 вычисляют не во всем частотном диапазоне, а только в определенной его части, например в высокочастотной области 15-100 Гц. В этом случае получаются величины размерностей 15-18. Соответственно, при таких вычислениях необходимо принимать D_emb около 20.

Таблица 3.4.

Корреляционные размерности нативных ЭЭГ сигналов.

Корреляционная размерность характеризует упорядоченность поведения исследуемой системы. Чем меньше корреляционная размерность восстановленного аттрактора, тем более детерминировано поведение системы. В нашем случае мы не можем делать каких-то конкретных выводов по численному значению корреляционной размерности, так как ее величина варьирует от 0,51 до 3,78 для разных групп пациентов.

Был проведен численный анализ симметричных отведений нативного сигнала ЭЭГ (C3, C4-A2): вычислена корреляционная размерность D2 (табл. 3.5) для условно здоровых людей.

Таблица 3.5

Корреляционная размерность D2

Анализ корреляционной размерности симметричных отведений показывает, что для левого полушария значения корреляционной размерности примерно одинаковы для всех отведений и составили для сигналов, используемых для обработки, D2=3,686±0,52. Для правого полушария наблюдается значительный разброс значений по различным отведениям: от 4,01±0,75 до 0,56±0,12. Полученные результаты подтверждают одну из фундаментальных закономерностей организации мозга – межполушарную асимметрию.