3.3. Реконструкция динамики системы в фазовом пространстве

Для исчерпывающего описания состояния сложной многомерной системы требуется не одна, а несколько переменных. Эти переменные можно объединить в, так называемый, вектор состояния, который в каждый момент времени принимает значения:

q=(q₁,q₂…q_n),

где q_i – значение в i-тый момент времени.

Пространство, в котором рассматривается данный вектор, называется фазовым пространством [22, 26, 29, 34, 35, 37-39, 41-45]. Динамика состояния системы описывается этим вектором, как функцией времени t: q=q(t).

Множество точек, представляющее последовательность состояний системы, принято называть ее фазовой траекторией (при изображении на плоскости – фазовым портретом системы). Если поведение системы стохастично, то фазовая траектория равномерно заполняет некоторый объем фазового пространства; если же это детерминированный периодический процесс, то траектория заполнит поверхность какой-либо симметричной фигуры, например – тора.

Фазовые портреты систем с хаотическим поведением также заполняют некоторую область фазового пространства, но при этом они обладают следующими особенностями:

Во-первых, независимо от того, какими были начальные условия, система, эволюционируя, приходит в определенную область фазового пространства – ту, в которой находится ее фазовый портрет. В связи с этой особенностью фазовый портрет называют аттрактором системы. То есть, можно сказать, что все траектории состояния системы стягиваются к ее аттрактору.

Во-вторых, несмотря на то, что аттрактор системы занимает некоторый замкнутый объем пространства, траектории, по которым эволюционирует система, никогда не пересекаются. При этом две отстоящие недалеко друг от друга траектории могут в процессе эволюции разойтись на большое расстояние (в пределах аттрактора). Иными словами, хаотическое поведение в пределах аттрактора очень чувствительно к начальным условиям.

В силу того, что траектории, по которым эволюционирует хаотическая система, находятся в замкнутом пространстве, но никогда не пересекаются, размерность ее аттрактора всегда меньше, чем размерность фазового пространства. Таким образом, получается, что такие аттракторы имеют размерность, промежуточную между целочисленными значениями размерностей обычных топологических многообразий.

Процессы, с которыми мы имеем дело на практике, представляют собой временную последовательность значений какой-либо одной величины. Однако временная последовательность по одной единственной переменной может дать гораздо больше информации обо всей системе, чем это может показаться с первого взгляда. Одним из важнейших достижений теории сложных систем стала теорема Такенса, пользуясь которой можно по эволюции одной переменной составить представление о динамике всей системы, построив аттрактор, по метрическим свойствам аналогичный исходному. Суть этой реконструкции сводится к следующему [39, 54, 67, 68, 114].

Пусть имеется исходный процесс X₀(t) – последовательность измеренных мгновенных значений переменной x. Отобразим данный процесс на плоскость следующим образом: каждому исходному значению процесса x(t_i) будет соответствовать точка на плоскости, одна координата которой будет равна x(t_i), а другая – x(t_i+τ), где τ – некоторая произвольно выбранная величина – так называемая задержка. В результате мы получим некоторое множество точек на плоскости. После этого отобразим исходный процесс в трехмерное пространство. В этом случае координаты по одной оси будут равны x(t_i), по другой – x(t_i+τ), и по третьей – x(t_i+2τ). Итак, при отображении исходной последовательности в n-мерное пространство каждая точка x(t_i) будет отображаться на точку этого пространства с координатами {x(t_i),x(t_i+τ),…, x(t_i+(n–1)τ)}. Согласно теореме Такенса, можно подобрать такие n и τ, что полученное в результате описанного преобразования множество точек будет по своим метрическим свойствам воспроизводить аттрактор исследуемой системы (для бесконечного ряда τ может быть любым).

Пространство, задаваемое для восстановления исходного аттрактора, называется пространством вложения; множество точек, моделирующее исходный аттрактор – восстановленным аттрактором.

Исходными данными для реконструкции аттрактора являются внедренная размерность и время задержки. Корректный выбор времени задержки осуществляется с использованием автокорреляционной функции (см. рис. 3.2, 3.3). Результаты расчета времен задержек для различных отведений участков нативной ЭЭГ представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2.

Время задержки для различных отведений участков нативной ЭЭГ

Способы выбора внедренной размерности D_emb позволяют задаваться значениями ее величины с точки зрения достаточности. Можно также выбирать минимально необходимую размерность фазового пространства. Метод, позволяющий это сделать, называется методом поиска ближайших «ложных соседей» [52, 58-62, 66-70, 114].

Суть метода состоит в следующем. Сначала предполагается, что аттрактор построен в фазовом пространстве, размерность которого больше необходимой. Тогда ближайшая окрестность любой точки восстановленного аттрактора будет отображением ближайшей окрестности соответствующей точки исходного аттрактора. Теперь представим себе, что получится, если спроецировать аттрактор в пространство, размерность которого недостаточно велика. Очевидно, что в этом случае некоторые точки исходной фигуры, расположенные далеко друг от друга, на проекции могут оказаться соседними. Такие точки и называются ближайшими «ложными соседями».

Существует следующий алгоритм вычисления относительного количества ложных «ближайших соседей» в восстановленном аттракторе. В фазовом пространстве выбираются две соседние точки, принадлежащие восстановленному аттрактору – x_i и x_j; вычисляется расстояние между ними, а также расстояние между следующими двумя точками – x_i+1 и x_j+1. Вычисляется соотношение между этими расстояниями:

.

Поскольку мы имеем дело, как правило, с гладкими процессами, после одной итерации точки сильно не разбегутся даже при больших значениях характеристического показателя Ляпунова λ. Поэтому если полученная величина превышает некоторое пороговое значение, то точки x_i и x_j можно считать «ложными соседями».

С увеличением D_emb количество «ложных соседей» уменьшается. Таким образом, минимально необходимой будет такая размерность фазового пространства, при которой процент «ложных соседей» равен 0. Если исследуется зашумлённый сигнал ЭЭГ, то свести число «ложных соседей» к нулю невозможно и тогда приходится задаваться некоторым допустимым их количеством. Наименьшую размерность фазового пространства, при которой относительное число «ложных соседей» не превышает этого порога можно считать минимально необходимой для реконструкции аттрактора, а величину D2, полученную для данной D_emb – его корреляционной размерностью. На практике задаются порогом 30% [29, 86-93, 111-114], считая его необходимым и достаточным.

Ниже на рис. 3.25 – 3.40 приведены примеры графиков зависимостей числа «ложных соседей» в % от величины внедренной размерности D_emb для исследуемых участков нативных ЭЭГ сигналов. Здесь FNN – процент ближайших «ложных соседей».

Женщины:

Рисунок 3.25. Зависимость числа ближайших «ложных соседей» от величины внедренной размерности для диагноза «невралгия». Отведение С4-А2.

Рисунок 3.26. Зависимость числа ближайших «ложных соседей» от величины внедренной размерности для диагноза «рассеянный склероз». Отведение С4-А2.

Рисунок 3.28. Зависимость числа ближайших «ложных соседей» от величины внедренной размерности для условно здорового пациента. Отведение С4-А2.

Мужчины:

Рисунок 3.32. Зависимость числа ближайших «ложных соседей» от величины внедренной размерности для диагноза «лудомания». Отведение С4-А2.

Рисунок 3.38. Зависимость числа ближайших «ложных соседей» от величины внедренной размерности для условно здорового пациента. Отведение С4-А2.

Результаты расчетов внедренной размерности методом ближайших «ложных соседей» для различных участков нативного ЭЭГ сигнала сведены в таблицу 3.3.

Таблица 3.3

Внедренная размерность, вычисленная методом ближайших «ложных соседей»

За достаточное значение D_emb было принято такое, при котором относительное количество «ложных соседей» составило не более 30%. В нашем случае это соответствует значениям внедренной размерности для всех пациентов D_emb=5-9. Это также совпадает со значениями, определенными в других источниках [11, 20, 23].

Используя исходные данные табл. 3.2 и табл. 3.3, а также одномерные временные ряды участков нативного ЭЭГ сигнала, были построены аттракторы для симметричных отведений C3, С4-А2, которые представлены на рис. ниже.

По осям графиков отложен зарегистрированный экспериментально в виде уровня напряжения нативной ЭЭГ мембранный потенциал сомы возбудительных клеток кортекса h_e с задержкой во времени , определенной в табл. 3.2. Чтобы исключить влияние выбора времени задержки  на наклон аттрактора, было выбрано дифференциальное представление, когда по одной оси откладывается сигнал с задержкой, а по другой – разность сигналов с положительной и отрицательной задержками.

Женщины:

а б

Рисунок 3.41. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «невралгия»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.42. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «рассеянный склероз»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.43. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «рассеянный склероз»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.44. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для условно здорового пациента: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.45. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для условно здорового пациента: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.46. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для условно здорового пациента: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.47. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для условно здорового пациента: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

Мужчины:

а б

Рисунок 3.48. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «лудомания»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.49. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «лудомания»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.50. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «лудомания»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.51. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «лудомания»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.52. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «лудомания»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.53. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для диагноза «лудомания»: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.54. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для условно здорового пациента: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.55. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для условно здорового пациента: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

а б

Рисунок 3.56. Аттракторы нативных ЭЭГ сигналов на фазовой плоскости для условно здорового пациента: а) левое полушарие; б) правое полушарие.

Анализируя рис. 3.41 – 3.56, можно сделать следующие выводы. На некоторых рисунках, например рис. 3.45, который отражает аттракторы участка нативного ЭЭГ сигнала условно здоровых пациентов, четко прослеживаются межполушарные отличия: для правого полушария ось аттрактора наклонена вправо, для левого – влево. Можно предположить, что чем «здоровее» пациент, тем очевиднее будет выражен наклон аттрактора.

Для пациентов с различными патологиями, например , рассеянный склероз, (рис. 3.42, 3.43) оба аттрактора имеют сложный вид, однако, правый аттрактор более упорядочен, что может свидетельствовать о локализации очага заболевания.

Для диагноза «лудомания» (рис. 3.48 – 3.53) правый аттрактор в большинстве случаев имеет четко выраженный наклон, а левый – наклона вообще не имеет.

Таким образом, можно сказать, что визуальный признак – внешний вид аттрактора – может в некоторых случаях служить врачу как дополнительный информативный показатель.