3.5. Расчет характеристических показателей Ляпунова

Одной из важнейших количественных характеристик хаотических процессов является характеристический показатель Ляпунова (λ). Как уже говорилось, в пределах аттрактора небольшие изменения начальных условий могут приводить к сильным изменениям в эволюции системы. Характеристический показатель Ляпунова может являться мерой того, насколько сильны могут быть эти изменения. Чем чувствительнее система к начальным условиям, тем он больше. Поскольку в n-мерном фазовом пространстве есть n независимых направлений, то систему характеризуют n характеристических показателей Ляпунова. Вычисляется обычно наибольший из них. Существует алгоритм вычисления этой величины, не требующий восстановления аттрактора, что значительно ускоряет вычисления [29, 40-45, 53-55, 63-66, 112, 122]. Используется метод задержек. Реконструируемая траектория X может быть выражена как матрица, где каждому ряду соответствует фазово-пространственный вектор:

X=[X₁ X₂ … X_M]^T,

где X_i – состояние системы в момент времени i. Для N временных выборок {x₁, x₂, …, x_N}, каждому X_i соответствует

X_i=[x_i x_i+J… x_i+(m-1)J],

где J – задержка реконструкции, m – размерность вложения. Таким образом, X – это матрица M×m, а константы m, M и N связаны следующим соотношением

M=N – (m – 1)J.

Размерность вложения обычно оценивается в соответствии с теоремой Такенса m>2n, хотя этот алгоритм работает и при значениях m ниже критерия Такенса.

После реконструкции динамики системы находим ближайшего «соседа» для каждой точки траектории. Ближайшего «соседа» X_j’ определяем как точку, которая минимизирует расстояние до особой точки касания X_j:

d_j(0)=min||X_j-X_j’||,

где d_j(0) – расстояние от j-й точки до ее ближайшего «соседа», а || || – означает евклидову норму. Сделано следующее допущение: ближайшие «соседи» имеют временной интервал больший, чем средний период временного ряда Т_ср.:

|j-j’|>Т_ср

Это позволяет предположить, что каждая пара соседей является начальными условиями для разных траекторий. Наибольший характеристический показатель Ляпунова оценивается как среднее значение временного интервала между ближайшими «соседями».

Характеристический показатель Ляпунова может быть как положительным, так и отрицательным. Все характеристические показатели Ляпунова детерминированного процесса отрицательны или равны нулю; у хаотических процессов хотя бы один (старший) положителен.

Результаты расчетов набора характеристических показателей Ляпунова показаны на рисунке 3.73.

Рисунок 3.73. Набор характеристических показателей Ляпунова, i – номер показателя. Применены следующие условные обозначения:

На рис. 3.73 показаны рассчитанные значения характеристических показателей Ляпунова для участков нативных сигналов ЭЭГ. Следует оговориться, что приведены три показателя, хотя расчет проводился для разного количества, в соответствии с определенной ранее внедренной размерностью методом ближайших «ложных соседей» (см. табл. 3.3). Диапазон значений i составил от 3 до 9, поэтому для единообразия представления оставлены три первых значения.

Диагностическое значение имеет только первый (старший, максимальный) показатель Ляпунова, и не столько его абсолютная величина, а знак – положительный или отрицательный.

В соответствии с условиями проведения измерений и для обеспечения повторяемости и статистической значимости результатов было сделано несколько выборок для каждого сигнала (по 20 выборок). Затем была выполнена статистическая обработка результатов по стандартным методиками обработки результатов измерений [115]. Полученные результаты для старшего показателя сведены в таблицу 3.6.

Таблица 3.6

Максимальный характеристический показатель Ляпунова для исследуемых нативных ЭЭГ сигналов

Основной вывод, который может быть сделан из данных исследований - так как первая экспонента характеристического показателя Ляпунова положительная, то в системе присутствует хаос.

Что касается абсолютных значений максимального характеристического показателя Ляпунова, то можно сказать, что он не показывает значительной вариабельности для набора исследуемых случаев. Для условно здоровых пациентов величина λ₁ немного выше, чем для пациентов с различными заболеваниями, в среднем на 0,1 с^-1. Это говорит о большей степени хаотичности сигнала для мозга в условно здоровом состоянии.

В случае игровой зависимости выявлена устойчивая тенденция к увеличению значения λ₁, в то время как для здоровых пациентов абсолютное значение λ₁ было ниже на 0,3-0,5 с^-1. Это, скорее всего, связано с тем, что за каждое конкретное психическое заболевание отвечает конкретный участок мозга, ЭЭГ которого и необходимо тщательно исследовать. В данной работе, как было описано в разделе 3.1, применялись стандартные методики наложения электродов.

Опытным путем было обнаружено, что длинный – более 4 с – ЭЭГ сигнал проявляет в основном статистические свойства, обнаруживая удовлетворительную корреляцию (0,9 и выше). Хаотические свойства ЭЭГ сигналов удается обнаружить на выборках длительностью менее 1 с.

Исследования различных типов сигналов показали, что чем сложнее аттрактор системы, тем в более спокойном и здоровом состоянии находится мозг человека. При этом фрактальная размерность принимает значения в диапазоне 2-4, следовательно, по теореме Мане внедренная размерность сигнала составит целую часть D_emb=[2D2+1], т.е. 5-9. Системы, описываемые такими сигналами, относят к сложным, высокоразмерным и их можно считать хаотическими.