15. Решение дифф.Уравнений в среде mathcad.Построение переходного процесса сау

В среде MATHCAD имеется программы для численного решения сис-мы дифф. Ур-ий методом Рунге-Кутта Рассм-им приведение дифф.ур-я n-го порядка к сис-ме дифф. ур-й.

y ⁽ⁿ⁾ =f (t,y,y ’,y’ ’… y ^n-1)

y=x1 y ‘ = x2 y’ ‘ =x3 y ^n-1 = xn y ⁽ⁿ⁾ = x n =f ( t, x1,x2, xn )

| x1=x2

| x2=x3 получили сис-му ур-й

| x n =f ( t, x1,x2, xn )

Если дифф.ур-е имеет вид:

a0 y ⁽ⁿ⁾ +a1 y ^n-1 +…an-1 y¹ +an =b0 U^(m)+…bm-1 U¹ + bm U⁰

| x = A x + b U

| y = C x + d U

0 1 0 … 0

A= 0 0 1 …0

-an -an-1…a1

пример

x\E = 3\ p px=3E x = 3(g(t) – y(t))

0E=g y ^3p+1\p+1 =a+(b\ p+1)

3p+1=ap+a+b

p0 | a+b=1 b=1-a= - 2

p | 3=a

3- (2\h+1) =( 3p+3-2)\ p+1 =(3p+1)\ p+1

a=3 b=- - 2

Пример

(3p+1)\ p+1=3-(2 \ (p+1))

-2 \ p+1 =x2 \ x1 -2 x1 = px2+x2

x2+x2= -2x1

x2=-2x1+x2 y=3x1+x2

E =g - y=g - 3x1-x2

x1=3E = 3(g – 3x1 – x2)

x1 = - 9 x1 – 3x2+3g

x2= - 2x1+x2

Программы для реализации дифф-х урав-й

Rkfixed(x,x1,x2,n,F) (с фиксир-м шагом)

х-переменное состояние; х1,х2—интервал изменений переменной от х1 до х2

n-число шагов F- вектор правых частей сис-мы диф.уравн-й

Bkadapt(x,x1,x2,n,F)—адаптивный метод Рунге-Кутта.Вэтом методе шаг интегрир-я явл-ся переменным и зависит от скорости изменений правых частей F

Μ μ = -1

х= 0 - {начальные условия}

1

Д ( t 1, x) : = | μ x0 – x1 { (x 0) ^2+(x 1) ^2} x 0 |

| μ x1 + x 0 - { (x 0) ^2 + ( x1) ^ 2 } x1 |

z : = r xfixed ( x , 0 ,20, 100 , D ) n : = 0 …99

n t x0 x1

0 0 0 1

z =, 1 0.02 -0.25 0.8

2 0.04 -0.1 0.7

3 0.06 –0.15 0.5

фазовая траектория

Процессы во времени:

H = (x1-x2) \ n = 20 – 0 \ 100 = 0.2

H h => t реальное время