12. Матричные и векторные операции в среде маthcad. Вычисление собственных чисел и собственных векторов. Определение устойчивости сау по алгебраическим критериям и матрице переменных состояний.

Операции с выделенными матрицами представлены подменю Matrix, кот. имеет подменю со след.операциями:

Transpose - получить транспонированную матрицу;

Invert - создать обратную матрицу;

Determinant - вычислить определитель матрицы.

Работа с массивами, векторами и матрицами

Произвольный доступ к произвольному элементу ряда можно иметь, если использовать тип массив. Одномерные и двухмерные массивы наз-ся векторами и матрицами. Их вводят используя раздел матриц из палитры мате­матических символов. Для обращения к элементам векторов и матриц исп-ся нижние индексы, напр-р, как M_1,3. Нижняя граница индексации оп­ределяется значением системной переменной ORIGIN, которая может прини­мать значения 0 или 1.Для ввода элементов векторов или матриц исп-ся нижние индексы, для набора которых надо ввести знак , например, если ввести a[2,4 , на эк­ране появится a_2,4. Индексы м.б. только целыми, начиная от нуля или от еди­ницы в зависимости от значения системной переменной ORIGIN. Удобнее при вводе пользоваться операцией Matrices в позиции Math основного меню или вводом пиктограммы с изображением шаблона матрицы.:

Xn-ввод нижн.индексаж Х^-1 -выч-е обр.матр-цы А * А^-1=Е

|X|- выч-е опред-ля ; М^Т- транпорт.матрица

V1 * V2-вектор.произв-е векторов

V1 V2- скалярное произв-е векторов

М1 М2 М=М1 М2

M shift- комплексное сопряжение матрицы М

М ctrl- рез-тМ- проведение нек.скалярной операции над всеми эл-ми массива,кот.отмеченызнаками векторизации

Rank(A)- вычисление ранга матрицы(порядок наибольшего определителя у матрицы,кот.не равен 0)

Eigenvals(M)-выч-е собств.значения матрицы.

Свободное движение лиейной стационарной сис-мы опис-ся сис-мой дифф-ных уравнений.

X = Ax ; X(0)=Xo X-вектор; А-матрица n*n

X =Ce^at C {n*1} –вектор

Xi = сумма e^ait (C1+C2t+..)+ сумма e^akt Ck

a-собств.значение Ax=aX

(A-aE)X=0 E-единич.матрица

|A-aE|=0-характ.уравн-е сис-мы

а0aⁿ+…+a^n-1 a +aⁿ =0

Корни ур-я наз-ся собств-ми числами матрицы

Сис-ма ур-й ассимп-ки устойчива,если Re ai <0

ai –веществ.,процесс монотонный

Для опр-я собств.числа ai решаем ур-е Ax=ai X

Можно найти с точностью до постоянной вектор X⁽ⁱ⁾ ,кот.наз-ся Собств.вектором матрицыА.

Св-ва вектора матрицы:1)При лин.преобр-ии A X⁽ⁱ) Он не меняет своего напр-ия Re ai <0

Собств.вектор исп-ся для приведения сис-мы X = Ax ; к диаганальному виду или к форме Жордона.

Вычисление следа матрицы ( tn(M)

Indentity(n)- n*n

Sort(V)-сортировка эл-тов вектора по возрастанию.