6. Дисперсионный и регрессионный анализ.

Дисперсионный анализ. Применяется на этапе структурной идентификации, когда требуется из всего множества входов выделить группу наиболее влияющих на выход. ДА – раздел мат. стат, задача которого – изучения влияния нескольких факторных признаков на результат при небольшом числе измерений. Одномерный (однофакторный ДА). Вход изменяется на различных уровнях р, а выход – СВ. Чтобы уменьшить влияние шума, на каждом уровне на входе проводится несколько измерений m. Общее число опытов n=mp. Все измерения сводят в таблицу, которая наз-ся дисперсионный комплекс: Перед проведением ДА проверяют осн-е предпосылки ДА: 1)Выход – нормально распределенная СВ. Проверка с помощью критерия Пирсона.

2 ) Проверка гипотезы однородности дисперсий выхода на каждом уровне входа. Критерий Кочрена, т.е. отличие самой большой дисперсии от всех остальных. Если вычисленное меньше табличного, то с заданной вероятностью дисперсии однородны. Суть ДА состоит в том, что при изменении входа и шума изменяется и выход. Степень изменения выхода оценивают с помощью общей дисперсии. Факторная дисперсия определяет влияние входа, а остаточная – влияние шума. Т.о. если факторная дисперсия много больше остаточной, то изменения входа значительно влияет на выход.

Регрессионный анализ (РА). Объект-регрессионный, если завис-ть м/у вх. и выходом – регрессионное уравнение. Объект наблюдаем. Y(t)=f[x(t)]+e(t), e(t) - ненаблюдаемый в нормальных условиях шум с характеристиками: 1)Шум в каждом измерении – нормально распределенная СВ. 2)С нулевым МО. 3)И единичной дисп-ей.4)В любых 2 измерениях независим.

Задача РА: по данным выборки найти статистические оценки для неизвестных парам-ов ур-ия регрессии и дисперсию шума. Предпосылки РА: 1)Рез-ты наблюдений за откликом в N точках факторного пространства – независимые нормально распределенные СВ. 2)Дисперсии откликов однородны. 3)Независимые входы измеряются с ошибкой существенно меньшей, чем ошибка измерения выхода. 4)Входы (регрессоры) в уравнении регрессии линейно независимы.

Y(t)=f[x(t)]+e(t). f[x(t)]=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_kx^k+e(t). По известному входу и выходу восстанавливаем модель.

Схема построения регрессионной модели: 1.Формулировка задачи. а)Выбор объекта. б)Выбор независимых входов. в)Выбор зависимых переменных (критериев оптимальности). Выбор входов определяет число экспериментов и влияет на точность модели. Факторы делят на качественные и количественные. Качест-е создают неоднородность. Имеют числовую оценку. Устан-ют необх-е уровни и интервалы их варьирования. Хар-ер выхода опр-ся поставл-й задачей.

2.Выбор типа эксперимента. а)Сравнительный. Цель: построение ряда предпочтительности для некоторых изучаемых признаков. При неполном переборе м/б использ-ны латинские планы. При полном переборе – ПФЭ.б)Отсеивающие.Для опр-я наиболее существенных факторов и отсеивания несущественных. Проводятся на первых этапах исследования с максимальным числом факторов. Используется метод ранговой корреляции, а также специальных насыщенных, ненас-ных и сверхнас-ных планов, метод последовательного отсеивания.

в)Эксперим-ты для получения адекватного мат.описания многофакторных объектов с качеств-ми и количеств-ми изменениями.Модель сначала строят для ограниченного числа фак-ов. В завис-ти от точности применяют лин-е и нелин-ые модели, построен-е на основе ДФЭ и ПФЭ.

г)Экстремальные эксперименты. Пров-ся для отыскания оптимал-х пар-ров функционир-я многофакт-го объекта.

3. Сост-е плана экспер-та. а)Однофак-й.б)Многофак-й. Планы многофак-х эксп-ов м/б симметр-ми и несимм-ми. В симметр-ых планах все фак-ры варьируются на одинаковом числе ур-ей Р. В практич-х задачах использ-ся двухуровневые симметричные планы, в кот-х реализ-ся все возможные сочетания фак-ров – ПФЭ. Если каждый ф-ор варьируется на 2-х уровнях, то говорят, что это ПФЭ типа 2k, k – число факторов. Усл-я эксп-та представл-ся в виде таблице – матрицы планир-ия, все ее эл-ты «+1» и «-1». При ее построении пользуются чередованием строк. В первом столбце знаки меняются через один, начиная с «-1», а затем по степеням двойки. В ПФЭ реализ-ся все возм-ые сочетания ур-ей ф-ров. Кол-во опытов значительно превосходит кол-во коэфф-ов регрессии, т.е. ПФЭ – избыточен. Для сокращения числа эксп-ов используют ДФЭ. Насыщенные планы – число определяемых коэфф-ов регрессии равно числу экспериментов, исп-ся для оценки только линейный эффектов. К ним относят ДФЭ.Его следует исп-ть, когда число ф-ров не очень велико или когда опыты несложные и недорогие. Достоинство ДФЭ: ортогональность - возможн-ть расчета лин-х эффектов независимо друг от друга. Можно быстро восстановить до ПФЭ. Несимметричные планы –когда факторы варьируются на различном числе ур-ей. Латинские квадраты – матрицы, в которых каждый эл-нт встречается только один раз в каждой строке и в каждом столбце. 4.Проведение эксп-та. Экспер-т проводят на объекте, на физической или имитационной модели. Процедура восстановления коэффициентов регрессии связана с очень большим числом экспериментов, сложностью выполнения целевых расчетов, обработкой результатов, изменением исходных данных и повторением эксперимента до получения удовл-х хар-к.

5.Обработка и анализ результатов. а)Построение ряда предпочтений. б)Выделение существенных факторов. в)Проверка адекватности. Для проверки значимости коэффициентов регрессии используется критерий Стьюдента. Для проверки адекватности – крит-ий Фишера – отношение дисперсии адекватности (дисперсия разности откликов модели и объекта) к дисперсии воспроизводимости (насколько мы можем воспроизвести объект моделью). 6.Принятие решения по результатам эксперимента. а)Выбор оптимального сочетания параметров. б)Выбор существенных факторов. в)Построение регрессионной модели анализа. г)Построение регрессионной модели управления. 7.Принятие решения. а)Составление каталога схемных и режимных парам-в. б)Оперативное управление режимом. в)Составление проекта автономного управления. г)Изменения формулировки задачи. Методика обработки рез-ов эксп-та. 1)Проверка предпосылок РА: отклик нормально распределен, дисперсии однородны. Кр-ий Кочрена на однородность. 2)Оценка коэф-в ур-ия регрессии. 3)Проверка гипотезы о статист-ой значимости коэфф-в регрессии по кр-ю Стьюдента. 4)Запис-ся окончательная регрессионная модель. 5)Проверка адекватности по кр-ю Фишера.