logo
ГосЭкзамен

8. Численные методы.

Численные методы - методы решения математических задач в численном виде. Представление как исходных данных в задаче, так и её решения - в виде числа или набора чисел.

О сновами для вычислительных методов являются:

- решение систем линейных уравнений. Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корня или корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точное значение вычислить невозможно или очень трудоёмко. Если система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные) или метод Ньютона (итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции). Этот метод в свою очередь основывается на принципах метода простой итерации.

- интерполирование. Способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. На основании наборов значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки, требуется п остроить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных. Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию.

На верхнем рисунке столбцы x и f(x).

- численное интегрирование. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла. Численное интегрирование применяется, когда: Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически.

- численное решение системы нелинейных уравнений и их систем состоит в приближённом определении корня или корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точное значение вычислить невозможно или очень трудоёмко.

- численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - это дифференциальное уравнение вида: где y(x) - неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x, штрих означает дифференцирование по x. Число n (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).

Метод полиномов Чебышева (МПЧ). Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами. Парам. ур-ия регрессии также опред-ют с помощью метода, основанного на полиномах Чебышева. Ур-ие регрессии в этом случае: (1) Tj(x)-ортогональные полиномы Чебышева

- оценка МО. Все остальные Tj вычисляются по рекуррентной ф-ле

- параболическая регрессия j-ой степени. bj - оценки параметров модели. Подставляя bj в главную формулу переходим к формуле (2). Выигрыша во времени у метода, основанного на полиномах Чебышева, по сравнению с МНК нет, т.к. кол-во вычислений ≈ одинаково. Но есть ряд случаев, когда МПЧ лучше - решение задач, когда степень апроксимир-го полинома модели заранее неизвестна. МПЧ исп-ся тогда, когда недоопределена структура модели, т.к. он явл-ся реккурентным – кажд. следующий коэф. опред-ся на кажд. итерации. Применяя метод последовательного увеличения степени регрессии с вычислением остаточной дисперсии на каждом j+1-том шаге, вычисления заканчивают, если вып-ся усл-ие (значение дисперсии увеличивается).

Для опред-ия остаточной дисперсии существует реккурентная ф-ла (выражает каждый член послед-ти через некоторое кол-во предыдущих членов):

Вычисления также заканчиваются по условию минимума остаточной дисперсии. При наличии шума это условие проверяют в статистическом смысле, т.е. вычисления заканчиваются, если Значимость различия м/у дисперсиями при наличии шумов на соседних итерациях и проверяют с помощью критерия Романовского:

Если R<3, то расхождение м/у и значимо, вычисления прекращаются, kоптим=j и производится преобразование формулы (2) в (1).

Проверка гипотезы однородности дисперсий выхода на каждом уровне входа. Критерий Кочрена, т.е. отличие самой большой дисперсии от всех остальных. Если вычисленное меньше табличного, то с заданной вероятностью дисперсии однородны. Суть ДА состоит в том, что при изменении входа и шума изменяется и выход. Степень изменения выхода оценивают с помощью общей дисперсии. Факторная дисперсия определяет влияние входа, а остаточная – влияние шума. Т.о. если факторная дисперсия много больше остаточной, то изменения входа значительно влияет на выход.