3.1 .Построение минимального остовного дерева (алгоритм Краскала).

Алгоритм предназначен для нахождения минимального остовного дерева, т.е. такого подграфа который бы имел столько же компонент связности, сколько и исходный, но не содержал петель и сумма весов всех его ребер была бы минимальной. Вначале опишем алгоритм (возможно не достаточно строго), а затем обсудим, какой способ задания графа был бы наилучшим в данном случае, а так же покажем, как от тех способов задания, которые мы использовали ранее перейти к способу применимому здесь.

Итак, алгоритм Краскала:

1.Сортируем ребра графа по возрастанию весов. 2. Полагаем, что каждая вершина относится к своей компоненте связности. 3.Проходим ребра в "отсортированном" порядке. Для каждого ребра выполняем: а) если вершины, соединяемые данным ребром лежат в разных компонентах связности, то объединяем эти компоненты в одну, а рассматриваемое ребро добавляем к минимальному основному дереву б) если вершины, соединяемые данным ребром лежат в одной компоненте связности, то исключаем ребро из рассмотрения. 4.Если есть еще нерассмотренные ребра и не все компоненты связности объединены в одну, то переходим к шагу 3, иначе выход.

Предположим, что, как и ранее граф задается матрицей весов W, ясно, что в данном случае работать непосредственно с матрицей весов не удобно, это выявляется уже на этапе упорядочивания ребер по весу, поэтому вначале выделим массив ребер с соответствующими весами. В нашем случае достаточно если ребро будет иметь три свойства: начальная вершина, конечная вершина и вес (вообще работа с графами хорошо реализуется методами ООП, но поскольку мы не используем расширения языков, то будем работать с простыми массивами). Для задания набора ребер используем два массива E: array [1..m, 1..2] of integer - здесь m - количество ребер (m 2-n+1, где n - количество вершин), и массив EW: array [1..m] of real, тогда ребро ei , соединяющее вершины u, v с весом wi  будет соответствовать элементам E[i, 1] = u, E[i, 2] = v, EW[i] = w. Таким образом, до начала непосредственно поиска минимального основного дерева нам необходимо пройти матрицу весов W и заполнить массивы E и EW.

Преобразовав представление графа от весовой матрицы к набору ребер (часто граф изначально задается при помощи списка ребер, и тогда предыдущая часть алгоритма становиться не нужна), мы уже можем легко упорядочить ребра по не убыванию весов, я для этого использую в блок-схеме алгоритм пузырька, чтобы не "замазывать" основной алгоритм, но можно легко перейти и к другим способам упорядочивания. Далее в алгоритме вводиться массив V : array [1..n] of integer элементы, которого характеризуют номер компоненты связности соответствующих вершин (две вершины u1, u2 лежат в одной компоненте связности, если и только если V[u1] = V[u2]). Теперь все структуры, используемые в алгоритме, описаны, и его работу легко будет понять из блок-схемы.

В заключении еще только одно замечание. В алгоритме используется переменная q, которая инициализируется значением n-1(на единицу меньше числа вершин) и затем, при объединении двух компонент связности на шаге 3, q уменьшается на единицу, таким образом, когда (если) q на некотором шаге занулиться, то это будет означать, что все вершины лежат в одной компоненте

связности и работа алгоритма завершена. Найденное дерево будет определено с помощью массива WO - матрицы весов.