Тема 2. Графический метод решения задач линейного программирования.

1. Область применения.

2. Примеры задач, решаемых графическим методом.

3. Обобщение графического метода решения задач линейного программирования.

1. Область применения.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Найти минимальное значение функции:

Z = С₁х₁+С₂х₂ (2.1)

при

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ b₂ (2.2)

. . . . . . . . . . . . . . . .

a_M1x₁ + a_M2x₂ b_M

х₁ 0, х₂ 0 (2.3)

Допустим, что система (2.2) при условии (2.3) совместна и ее многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2.2) и (2.3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми: a_i1x₁ + a_i2x₂ + a_i3x₃ = b_i,(i = 1, 2, ..., n), х₁=0, х₂=0. Линейная функция (2.1) при фиксированных значениях Z является уравнением прямой линии: С₁х₁ + С₂х₂ = const. Построим многоугольник решений системы ограничений (2.2) и график линейной функции (2.1) при Z = 0. Тогда поставленной задаче линейного программирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая С₁х₁ + С₂х₂ = const опорная и функция Z при этом достигает минимума. Значения Z = С₁х₁ + С₂х₂ возрастают в направлении вектора N =(С₁, С₂), поэтому прямую Z = 0 передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора Х Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая.

Случай 1. Прямая С₁х₁ + С₂х₂ = const, передвигаясь в направлении вектора N или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу.

Случай 2. Прямая, передвигаясь, все же становится опорной относительно многоугольника решений. Тогда в зависимости от вида области линейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу, ограниченной снизу и неограниченной сверху, либо ограниченной как снизу, так и сверху.

2. Содержание

   • Тема 1. Классификация моделей.
   • Тема 1. Классификация моделей.
   • Основные признаки классификации моделей.
   • Область использования.
   • Учет в модели временного фактора.
   • Способ представления модели.
   • Тема 2. Классификация языков компьютерного моделирования.
   • Тема 3. Этапы и цели компьютерного математического моделирования.
   • Раздел 1. Задачи линейного программирования.
   • Тема 1. Математическое программирование. Общий вид задач линейного программирования.
   • Формулировка задачи.
   • Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
   • Найти минимальное значение линейной функции
   • Тема 2. Графический метод решения задач линейного программирования.
   • Примеры задач, решаемых графическим методом.
   • Обобщение графического метода решения задач линейного программирования.
   • Тема 3. Симплекс - метод.
   • Каноническая задача лп на максимум.
   • Вспомогательная задача лп.
   • Алгоритм метода искусственного базиса
   • Вспомогательная задача лп.
   • Алгоритм метода искусственного базиса.
   • Тема 4. Транспортная задача.
   • 4.2 Составление опорного плана.
   • 4.3 Метод потенциалов.
   • Раздел 2. Теория графов.
   • Тема 1. Основные понятия теории графов.
   • Элементы множества V называются вершинами графа g (или узлами), элементы множества u-его ребрами. Вершины и ребра графа называют также его элементами и вместо VV и u u пишут Vg и ug.
   • 1.2 Операции над графами.
   • 1.3.Связность графов.
   • 1.4 Эйлеровы графы.
   • 1.5 Гамильтоновы графы.
   • Тема 2. Поиск пути в графе.
   • 2.2 Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Дейкстры).
   • 2.3 .Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с произвольными весами для всех пар вершин (алгоритм Флойда).
   • 2.4 Путь с минимальным количеством промежуточных вершин (волновой алгоритм).
   • 2.5 Нахождение k путей минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Йена).
   • Тема 3. Задачи о минимальном остове.
   • 3.1 Деревья.
   • 3.1 Построение минимального остовного дерева (алгоритм Краскала).
   • 3.1 Деревья.
   • 3.1 .Построение минимального остовного дерева (алгоритм Краскала).
   • Раздел 3. Динамическое программирование.
   • Тема 1. Метод динамического программирования.
   • 1.2 Идеи метода динамического программирования
   • 1.3 Выбор состава оборудования для технологической линии.
   • Исходные данные для примера
   • Тема 2. Задача инвестирования.
   • Тема 3. Замена оборудования.
   • Тема 4. Задача о загрузке.
   • 4.2 Рекуррентные соотношения для процедур прямой и обратной прогонки.
   • 4.3 Решение задачи о загрузке.
   • Раздел 4. Системы массового обслуживания (смо). (8 часов).
   • Тема 1. Основные понятия теории массового обслуживания.
   • Тема 2. Простейшие смо и нахождение их параметров.
   • Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:
   • 2. Одноканальная смо с неограниченной очередью
   • 3. Одноканальная смо с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания
   • 4. Одноканальная смо с произвольным потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания
   • Раздел 5. Имитационное моделирование.
   • Тема 1. Простейшие задачи, решаемые методом имитационного моделирования.
   • Тема 2. Основные понятия теории Марковских процессов.
   • Тема 3. Метод Монте – Карло.
   • Раздел 6. Прогнозирование.
   • Тема 1. Основная идея прогнозирования. Методы прогнозирования
   • Тема 2.Теории экспертных оценок.
   • Раздел 7. Теория игр.
   • Тема 1. Основные понятия теории игр.
   • 1. 1 Понятие об играх и стратегиях
   • Тема 2. Простейшие методы решения задач теории игр.
   • Раздел 8. Элементы теории принятия решений. (2 часа).
   • Основные понятия.
   • Принятие решений в условиях полной неопределенности
   • Принятие решений при проведении эксперимента.
   • 2. Принятие решений в условиях полной неопределенности
   • 2.1 Максиминный критерий Вальда.
   • Критерий равновозможных состояний.
   • 3. Принятие решений при проведении эксперимента.
   • 3.1. Принятие решений в условиях неопределенности.
   • 3.2. Использование смешанной стратегии
   • 3.3. Принятие решений в условиях риска