Вопрос 42. Системы счисления (позиционные, непозиционные).

Система счислени — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционные системы счисления

Основная статья: Позиционная система счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом , называемым основанием системы счисления. Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

, где  — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра в его b-ричном представлении была также ненулевой.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

1 — единичная[1] (счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);

3 — троичная;

8 — восьмеричная;

10 — десятичная (используется повсеместно);

12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);

16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);

60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением b-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел , и каждое число x в ней представляется как линейная комбинация:

, где на коэффициенты , называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

Записью числа x в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида как функции от k смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда для некоторого b, смешанная система счисления совпадает с b-ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «d дней, h часов, m минут, s секунд» соответствует значению секунд.

[править]

Факториальная система счисления

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов , и каждое натуральное число x представляется в виде:

, где .

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

[править]

Биномиальная система счисления

Представление, использующее биномиальные коэффициенты

, где .

[править]

Система остаточных классов (СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где

…

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка .

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в .

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .