1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

- правая разностная производная; (3)

- левая разностная производная; (4)

- центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

, (6) где у- вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 - аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h₀,x+h₀) точки х, h<h₀,h₀- фиксированное число.

Подставляя это разложение в (3),(4),(5), получим:

Отсюда видно, что

Пусть L- дифференциальный оператор, L_h- разностный оператор, заданный на сетке w_h. Говорят, что разностный оператор L_h:

1) аппроксимируем дифференциальный оператор L в узле x_i w_h, если

, где v(x)- достаточно гладкая функция, стремится к нулю при h>0;

2) аппроксимируем L с порядком n >0 в узле x_i w_h если , т.е.

, M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор .

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая , имеем

Отсюда

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

так как