Вычисление матрицы Гессе

Обнаружение особых точек в SURF основано на вычислении детерминанта матрицы Гессе (гессиана).

Матрица Гессе для двумерной функции и ее детерминант определяется следующим образом:

Значение гессиана используется для нахождения локального минимума или максимума яркости изображения. В этих точках значение гессиана достигает экстремума.

На картинке видно, что особые точки (очерченные цветными кругами) представляют собой локальные экстремумы яркости изображения. Мелкие точки не распознаны как особые, из-за порогового отсечения по величине гессиана.

Рис. 2. На рисунке показаны концы отрезка, распознанные как ключевые точки, с помощью матрицы Гессе.

Теоретически, вычисление матрицы Гессе сводится к нахождению Лапласиана Гауссиан. По сути, элементы матрицы Гессе вычисляются как свертка (сумма произведений) пикселов изображения на фильтры, изображенные на рисунке:

На рисунке изображены дискретизированные фильтры для нахождения четырех элементов матрицы Гессе (четвертый - совпадает с третьим, поскольку матрица Гессе симметрична). Фильтры имеют пространственный масштаб 9x9 пикселов. Темные участки соответствуют отрицательным значениям фильтра, светлые - положительным.

Однако SURF не использует лапласиан гауссианы в том виде, который изображен на рисунке. Во-первых, по утверждению авторов, дискретизированный лапласиан гауссианы имеет довольно большой разброс значения детерминанта, при вращении образца (напомним, что в идеале гессиан должен быть инвариантен к вращению). Особенно детерминант "проседает" в районе поворота на 45 граудсов. А во-вторых, и это главное, фильтр для лапласиана гауссианы имеет непрерывный характер. Почти все пикселы фильтра имеют разные величины яркости. А это не позволяет эффективно использовать такой мощный механизм расчёта, как интегральную матрицу изображения.

Поэтому SURF использует бинаризованную аппроксимацию лапласиана гауссиан (авторы назвали его Fast-Hessian):

На рисунке изображены фильтры, используемые для нахождения матрицы Гессе в SURF. Белые области соответствуют значению +1, черные - 2 (на третьем фильтре - 1), серые - нулевые. Пространственный масштаб - 9x9 пикселов. Этот фильтр более устойчив к вращению, и его можно эффективно вычислить с помощью интегральной матрицы.

Таким образом, в SURF, гессиан вычисляется так:

Где Dxx, Dyy, Dxy - свертки по фильтрам, изображенным на рисунке вверху. Коэффициент 0.9 имеет теоретическое обоснование, и корректирует приближенный характер вычислений.

Итак, для нахождения особых точек, SURF пробегается по пикселам изображения и ищет максимум гессиана. Способ нахождения локального максимума гессиана мы рассмотрим позднее. В методе задается пороговое значение гессиана. Если вычисленное значение для пиксела выше порога - пиксел рассматривается как кандидат на ключевую точку.

Тут еще полезно заметить следующее. Поскольку гессиан является производной, и зависит только от перепада яркости, но не от абсолютного ее уровня, то он инвариантен по отношению к сдвигу яркости изображения. Таким образом, изменение уровня освещения образца не влияет на обнаружение ключевых точек.

Кроме того, свойства гессиана таковы, что он достигает максимума, как в точке белого пятна на черном фоне, так и черного пятна на белом фоне. Таким образом, метод обнаруживает и темные, и светлые особенности изображения.

Метод распознает как светлые точки на темном фоне, так и темные точки на светлом фоне.