Достижение инвариантности относительно масштаба

Как уже отмечалось, гессиан не инвариантен относительно масштаба. Это значит, что для одного и того же пиксела, гессиан может меняться при изменении масштаба фильтра. Решение этой проблемы только одно - перебирать различные масштабы фильтров и поочередно их применять к данному пикселу.

Из соображений симметрии и дискретизации, размер фильтра Fast-Hessian не может принимать произвольные значения. Допустимые размеры этого фильтра таковы (начиная с минимального): 9, 15, 21, 27 и так далее, с шагом 6. Однако, на практике, постепенно увеличивать размер фильтра на 6 - не выгодно, потому что для крупных масштабов шаг 6 оказывается слишком мелким, а фильтры - избыточными. Поэтому (и по некоторым другим причинам), SURF разбивает все множество масштабов на так называемые октавы. Каждая октава покрывает определенный интервал масштабов, и имеет свой характерный размер фильтра.

При этом если бы на октаву приходился только один фильтр, это было бы слишком грубым приближением. Кроме того, мы бы не могли найти локальный максимум гессиана, среди разных масштабов, в разных октавах. Ведь одна и та же точка может иметь несколько локальных максимумов гессиана, в разных масштабах. Это хорошо видно на картинке:

Рис. 3. Рисунок показывает две ключевые точки разного масштаба в одной точке изображения.

Если мы будем искать максимум среди всех гессианов, по всем масштабам, то мы бы нашли только один из максимумов, в то время как их может быть несколько. Один - в одном масштабе, другой - в другом.

Исходя из перечисленного, октава содержит не один фильтр, а четыре фильтра, которые хорошо покрывают характерный масштаб октавы:

На рисунке показаны первые три октавы метода SURF. Цифры в прямоугольниках показывают размер фильтра Fast-Hessian. Логарифмическая шкала снизу - показывает масштабы, покрываемые октавами.

Шаг размера фильтра в первой октаве - составляет 6, во второй - 12, в третьей - 24 и так далее.

Как видим, октавы значительно перекрываются друг другом. Это увеличивает надежность нахождения локальных максимумов. Почему в октаве именно четыре фильтра станет ясно из следующей главы.

Теоретически, масштабы бесконечны, однако в реальных изображениях, они вполне конечны, и основная масса сосредоточена в интервале от 1 до 10 (по данным авторов метода). Для покрытия этого диапазона достаточно четырех октав. Плюс добавляется одна или две октавы для покрытия больших масштабов. Итого, используется 5-6 октав. Теоретически, этого вполне достаточно для покрытия всевозможных масштабов на изображении 1024x768 пикселов.