Нахождение локального максимума гессиана

Для нахождения локального максимума гессиана, используется так называемый метод соседних точек 3x3x3.

Его смысл понятен из рисунка ниже:

Пиксел, помеченный крестиком считается локальным максимумом, если его гессиан больше чем у любого его соседа в его масштабе, а также больше любого из соседей масштабом меньше и масштабом больше (всего 26 соседей).

Исходя из такого определения локального максимума, понятно, что октава должна содержать не менее трех фильтров, иначе мы не сможем определить факт нахождения локального максимума гессиана внутри октавы.

Отметим еще такой момент. Фильтры октавы считаются не для всех пикселов подряд. Первая октава считается для каждого второго пиксела изображения. Вторая - для каждого четвертого, третья - для каждого восьмого и так далее. Смысл понятен - две точки с расстоянием 2 не могут содержать более одного максимума масштаба 2, 3 или более высоких масштабов. Поэтому нет смысла перебирать все точки изображения, для нахождения максимума масштаба 3, например.

Удвоение шага пикселов для октав позволяет экономить при расчёте фильтров. Как вы наверно уже заметили, размеры фильтров в октавах повторяются. Так, например, фильтр размером 27 присутствует в трех октавах. Так вот, при вычислениях, этот фильтр будет считаться только для первой октавы. Вторая и третья - просто используют расчёты первой октавы. А удвоение шага пикселов гарантирует, что точки, в которых нужно считать гессиан, уже были просчитаны предыдущей октавой.

Поэтому, несмотря на то, что октава содержит четыре фильтра, на самом деле каждая октава (кроме первой) считает только два характерных для нее размера, два других - всегда можно взять из предыдущих октав. Первая же октава вынуждена считать все четыре своих фильтра.

Итак, после нахождения максимального гессиана методом соседних точек 3x3x3, мы нашли пиксел, в котором этот максимум достигается. Однако, поскольку, октава перебирает не все точки изображения, то истинный максимум может не совпадать с найденным пикселом, а лежать где-то рядом, в соседних пикселах.

Для нахождения точки истинного максимума, используется интерполирование найденных гессианов куба 3x3x3 квадратичной функцией. Далее, вычисляется производная (методом конечных разностей соседних точек). Если она близка к нулю - мы в точке истинного максимума. Если производная велика - сдвигаемся в сторону ее уменьшения, и повторяем итерацию, до тех пор пока производная не станет меньше заданного порога. Если в процессе итераций мы отходим от начальной точки слишком далеко, то это считается ложным максимумом, и точка больше не считается особой.