У разі, якщо ,

то в точці   функція   екстремуму не має.

Якщо ,

то питання про існування екстремуму залишається відкритим.

Якщо задача полягає у відшуканні локального чи глобального екстремуму деякої функції за умови, що на змінні такої функції накладаються додаткові обмеження, то маємо задачу пошуку умовного екстремуму функції. Термін «умовний» означає, що змінні задачі мають задовольняти деякі умови.

Розглянемо таку задачу для випадку двох змінних:

знайти   (8.4)

за умови, що  . (8.5)

Найпростіший спосіб розв’язання задачі такого виду полягає в тому, що спочатку з обмеження (8.5) знаходять вираз однієї змінної через іншу. Приміром, визначають   через  . Отриманий вираз виду   підставляють у функцію (8.4), що після цього стає функцією однієї змінної  , і далі знаходять її безумовний екстремум.

Якщо деяка точка   є точкою екстремуму функції  , то точка   є точкою умовного екстремуму функції (8.4) за умови (8.5).

Однак не завжди вдається відшукати аналітичний вираз однієї змінної через іншу в умові (8.5). Часто це досить важко здійснити або неможливо. Також іноді складно узагальнити даний спосіб для функції n змінних, на які накладено m обмежень. Тому описана досить проста ідея зведення задачі відшукання умовного екстремуму функції кількох змінних до задачі на безумовний екстремум функції однієї змінної не може бути використана як основа універсального методу розв’язування задач на умовний екстремум. Цікавий метод розв’язування задач типу (8.4), (8.5) запропонував Лагранж.