55.Поясніть економічний сенс теорем подвійності,дайте економічну інтерпретацію властивостей подвійних оцінок.

Перша теорема подвійностіДля взаємно двоїстих задач можливий один із взаємовиключних ви-падків:441 Якщо пряма задача має оптимальне розв’язання, то і двоїста задачамає оптимальне розв’язання, при цьому значення цільових функцій на оп-тимальних розв’язаннях збігаються: F=G.2 Якщо в прямій задачі область припустима рішень непорожня, а ці-льова функція на ній не обмежена ( F  илиF  ), то в двоїстоїзадачі буде порожня область розв’язання.Друга теорема подвійностіЯкщо за оптимальним планом прямої задачі якийсь i-й ресурс вико-ристовується не цілком, то відповідна змінна двоїстої задачі дорівнює ну-лю (y*i = 0); якщо ж змінна двоїстої задачі, що відповідає ресурсу i-го ви-ду позитивна, то в рішенні прямої задачі цей ресурс використовується цілком.Якщо j-а змінна прямої задачі має позитивне значення, то відповіднеобмеження двоїстої задачі після розв’язання буде виконуватися як строгарівність. А якщо ж j-а змінна прямої задачі дорівнює 0, то відповідне j-еобмеження двоїстої задачі після розв’язання буде виконуватися як строганерівність.Економічний зміст двоїстої задачіТак само як пряма, двоїста задача має економічний сенс і їїрозв’язання використовується для деяких задач в економічному аналізі.З економічної точки зору розв’язання прямої задачі планування ви-робництва (визначення оптимального асортименту) дозволяє одержати оп-тимальний план випуску продукції, а розв’язання двоїстої задачі – оптима-льну систему умовних оцінок використовуваних ресурсів.З рішень прямої і двоїстої задачі планування виробництва виплива-ють такі властивості:\Властивість 1. Зв'язок значень цільових функцій прямої і двоїстоїзадачі.Значення цільових функцій прямої і двоїстої задач рівні: Fmax = Gmin.45Властивість 2. Розв’язання як міра впливу на цільову функцію.Нехай, наприклад, величина ресурсу, оцінка якого yi збільшиться наk одиниць (bi+k). Порахуємо зміну величини функції G:Таким чином, значення цільової функції двоїстої задачі збільшилося на KYi

Але значення цільової функції прямої задачі також збільшилося на .KY, тому що Fmax = Gmin.Іншими словами, зміна цільової функції Fmax при збільшенні вільного члена bi на величину k можна визначити, використовуючи співвідношення ΔFmax = kyi .Величина двоїстої оцінки того чи іншого ресурсу показує, наскільки зросло б максимальне значення цільової функції, якби обсяг даного ресур-су збільшився б на одиницю. Однак варто мати на увазі, що двоїста оцінка дозволяє судити про ефект порівняно невеликих змін обсягу ресурсів.Найбільшій величині оцінки вартості ресурсів відповідає найбільш дефіцитний ресурс. Недефіцитному ресурсу відповідає оцінка, рівна 0.Властивість 3. Оцінки yi як міра дефіцитності ресурсів.Чим вище величина оцінки, тим гостріше дефіцитність ресурсу.Властивість 4. Оцінки yi як міра вигідності випуску продукціїЯкщо одне обмеження двоїстої задачі виконується як строга нерівність, це означає, що оцінка ресурсів, використовуваних на виробництво відповідного виробу вище ціни цього виробу, і, отже, випускати його невигідно. Якщо обмеження двоїстої задачі виконується як рівність, це означає, що оцінки ресурсів, використовуваного для виробництва одиниці відповідного виробу рівне в точності їхнім цінам. Тому випускати цей вид продукції економічно доцільно, що буде видно з розв’язання прямої задачі.

56.ПОЯСНІТЬ ПОНЯТТЯ ПРОДУКТИВНОСТІ МАТРИЦІ КОЕФІЦІЄНТІВ ПРЯМИХ МАТЕРІАЛЬНИХ ВИТРАТ.

Система рівнянь міжгалузевого балансу відображає реальні економічні процеси, в котрих сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків; таким чином, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів вектора Х, який є невід’ємним вектором: X > 0. Постає питання, за яких умов економічна система здатна забезпечити невід’ємний кінцевий випуск у всіх галузях? Відповідь на це питання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Означення. Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує такий невід’ємний вектор Х, що

X > AX. (11.13)

Очевидно, що умова (11.13) означає існування невід’ємного вектора кінцевої продукції Y > 0 для моделі міжгалузевого балансу (11.6).

Щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, аби виконувалася одна з перелічених нижче умов:матриця (Е – А ) має бути невід’ємно оберненою, тобто повинна існувати обернена матриця (Е – А) –1 ? 0;матричний ряд   має збігатися, Ak ® 0, k ® ?, а його сума дорівнює оберненій матриці (Е – А)–1; найбільший за модулем l розв’язок (власне значення) характеристичного рівняння   має бути строго меншим від одиниці; усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, що утворені елементами перших рядків і перших стовпчиків цієї матриці порядку від 1 до n, мають бути додатними.

Більш простою, але лише достатньою ознакою продуктивності матриці А є обмеження на величину її норми, тобто на величину найбільшої із суми елементів матриці А в кожному стовпчику. Якщо норма матриці А строго менша від одиниці, то ця матриця є продуктивною. Наголосимо, що дана умова є лише достатньою, і матриця А може виявитися продуктивною й у разі, якщо її норма буде більшою за одиницю.

Найбільший за модулем корінь характеристичного рівняння, наведеного в третій умові продуктивності матриці А (позначимо його через l*), може слугувати за оцінку загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, величина (1 – l*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більшим є (1 – l*), тим більшими є можливості досягнення інших цілей, окрім поточного виробничого процесу. Іншими словами, чим вищим є загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більшим — максимальне за модулем власне значення (l* ) і нижчим — рівень продуктивності, і навпаки, чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим меншим є максимальне по модулю власне значення (l* ) і вищою продуктивність.

Проаналізуймо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е – А)–1. Елемент цієї матриці bijпоказує, скільки всього необхідно виробити продукції і-ї галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Дамо інше означення коефіцієнта повних матеріальних витрат з огляду на те, що окрім прямих витрат існують опосередковані витрати тієї чи іншої продукції для виробництва продукції даної галузі. Розгляньмо для прикладу формування витрат електроенергії на випуск стального прокату, обмежуючись технологічним ланцюжком «руда—чавун—сталь—прокат». Витрати електроенергії для отримання прокату зі сталі називатимемо прямими витратами, ті самі витрати для отримання сталі з чавуну — опосередненими витратами 1-го порядку, а витрати електроенергії для отримання чавуну з руди — опосередкованими витратами електроенергії на випуск сталевого прокату 2-го порядку тощо. Отже, можна дати таке означення:

Коефіцієнтом квазіповних матеріальних витрат cij називають суму прямих і опосередкованих витрат продукції і-ї галузі для виробництва одиниці продукції j-ї галузі через проміжні продукти на всіх попередніх стадіях виробництва. Якщо коефіцієнти опосередкованих матеріальних витрат k-го порядку позначати через  , то має місце формула

 (11.14)

a якщо ввести до розгляду матрицю коефіцієнтів квазіповних матеріальних витрат C = (cij) та матриці коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат різних порядків , то поелементну формулу (11.14) можна подати в матричній формі:

 (11.15)

З огляду на змістовну суть коефіцієнтів опосередкованих матеріальних витрат можна записати такі математичні співвідношення:

за використання котрих матрична формула (11.15) набирає вигляду

 (11.16)

Якщо матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А є продуктивною, то з другої умови продуктивності існує матриця В = (Е –А)–1, яка є сумою збіжного матричного ряду:

 (11.17)

Порівнюючи вирази (11.16) та (11.17), дістанемо:

В = Е + С,

або в поелементному записі:

Це визначає економічний сенс, що пояснює відмінність між коефіцієнтами (елементами) матриць В та С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують лише витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В включають у себе, окрім витрат, також одиницю кінцевої продукції, котра виходить за сферу виробництва.