14.Визначення сідлової точки.

Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умовіснування сідлових точок функції Лагранжа   у (n + m)-вимірному просторі змінних   за довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних .

необхідні умови сідлової точки:

 для тих індексів j, де  . (8.14)

Зауважимо, що для   маємо ті самі випадки, які зображено на рис. 8.1—8.6, причому графіки будуть симетрично відображені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:

 для тих індексів j, де  . (8.15)

І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак хj умови не накладаються, то необхідною умовою є:

,   — довільного знака. (8.16)

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння:

. (8.17)

Розглядаючи другу частину нерівності (8.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по   функції Лагранжа в сідловій точці:

 для тих індексів і, де  , (8.18)

 для тих індексів і, де  , (8.19)

 для тих індексів і, де   має довільний знак. (8.20)

Отже, справджується рівняння:

. (8.21)

Сукупність співвідношень (8.14)—(8.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка   функції Лагранжа для точок, що належать множині  . При цьому   повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів  .