Додаток б Формування ммс за допомогою методу вузлових потенціалів

Формування за допомогою методу вузлових потенціалів базується на I законі Кирхгофа: сума струмів будь-якого вузла дорівнює нулю.

Розглянемо коло (рис.Б.1).

Рисунок Б.1 - Електронне коло з трьома джерелами струму

Запишемо I закон Кирхгофа для вузлів 1-3, де представимо реактивні опори в операторній формі

, X_L= pL ;

G1 (U1 – U3) – (G2+pC1) (U1 – U2) – J1 – J2=0;

Перегрупувавши члени, одержимо:

.

В матричному виді ці рівняння записуються так:

G1+G2+pC1 – G2 – pC1 -G1 U1 J1+J2

-G2 – pC1 _* U2 = J3-J2 .

-G1 U3 -J1-J3

Проаналізувавши одержану матрицю провідностей, сформулюємоправила складання рівнянь електронного кола для вузлових потенціалів.

1. Діагональні елементи y_ii матриці Y позитивні і дорівнюють сумі провідностей, підключених до вузла i.

2. Позадіагональні елементи y_jk матриці Y від'ємні і дорівнюють сумі провідностей між j та k - вузлами.

3. Довільний елемент вектору J j_j дорівнює сумі струмів незалежних джерел, втікаючих в j-й вузол зі знаком плюс та витікаючих з нього зі знаком мінус.

Слід відзначити, що якщо один з вузлів заземлений, то з матриці зникають відповідний стовпець та відповідний рядок.

Сформульовані правила корисні при складанні рівнянь людиною. Вони дозволяють записати рівняння при послідовному переборі всіх вузлів. При складанні рівнянь за допомогою ПК більш прийнятним є підхід, заснований на послідовному переборі елементів схеми.

Формування математичної моделі схеми ММС поелементно. Більш уважно розглядаючи матрицю Y помітимо, що кожен елемент схеми представлений у ній своєю підматрицею, тобто можна зробити висновок, що провідність двополюсника, включеного між j-м та k-м вузлами з'являється в матриці Y лише у стовпцях і рядках з номерами j та k, причому зі знаком "+" в елементах з номерами (j, j) та (k, k) та зі знаком "-" в елементах з номерами (j, k) та (k, j), тобто:

Якщо один з вузлів двополюсника заземлений, то провідність цього двополюсника враховується лише в одному елементі матриці Y - у власній провідності y_jj.

Зараз розглянемо, яку матрицю провідностей формує джерело струму, що керується напругою (рис.3.20).

Струми та напруги для кола (рис. 3.20) зв'язані наступними співвідношеннями:

I_j=0;

I_k=0;

I_р=g (U_j - U_k);

I_q=-g (U_j - U_k).

Рисунок Б.2 – Джерело струму, що керується напругою

У матричному виді це виглядає так:

.

Легко помітити, що власні провідності формують симетричну матрицю Y, а ті, що керуються, порушують цю симетрію.

Багато приладів, що використовуються на практиці, моделюються за допомогою джерел струму, що керуються напругою. Tаким прикладом може бути малосигнальна модель польового транзистора (рис. Б.3).

Рисунок Б.3- Малосигнальна модель МДП-транзистора

Для цієї моделі Y-матриця має вигляд:

Таким чином, розглядаючи кожний елемент кола, ми формуємо матрицю провідностей Y схеми, як суму вкладів кожного елемента в цю матрицю.

Розглянемо нелінійний двополюсник, що має нелінійну вольт-амперну характеристику . Лінеаризуємо її, розклавши в ряд Тейлора в точці (Uo, Io), обмежившись частинними похідними

I порядку. Тоді компонентне рівняння такого двополюсника буде мати вигляд

I = yU + Jo,

де ,

що відповідає наступному схемному перетворенню:

Рисунок Б.4– Нелінійний двополюсник (а), його еквівалентна схема (б) та його матриця провідності (в)

Отже, нелінійний двополюсник (рис. Б.4a) поблизу робочої точки (Io, Uo) може бути замінений паралельно з'єднаними резистивним двополюсником та джерелом струму (рис. Б.4б). У цьому випадку матриця провідностей лінеаризованого нелінійного двополюсника буде мати такий же вигляд, як і у резистивного двополюсника (рис. Б.4в). А джерело Jo при складанні рівнянь ввійде в праву частину рівнянь для вузлів j та k з різними знаками ("+" для вузла k та "-" для вузла j).

Якщо джерело струму керується напругою іншого двополюсника, тобто I2=f(U1) рис. Б.5a, то еквівалентна схема цього двополюсника буде аналогічною, тільки

Матриця провідностей двополюсника зображена на рис. Б.5б, а джерело Jo струму увійде в праву частину рівняння для вузла p зі знаком мінус, а для вузла q зі знаком плюс.

Рисунок Б.5 – Джерело струму, що керується іншою гілкою схеми (а), та його матриця провідностей (б)

’’Незручні’’ двополюсники. Для включення елемента до моделі схеми в базисі вузлових потенціалів необхідно, щоб його рівняння мало вигляд:

I = f (U).

Проте багато елементів схем описуються рівняннями, відмінного від I=f (U) вигляду. Такі елементи називаються “незручними”. До них відносяться ідеальні джерела напруги та струму, а також джерела, що керуються, виду I=f(I), U=f (I), U=f (U).

Ідеальне джерело струму J. Його незручність полягає в тому, що при з'єднанні лише джерел струму в одному вузлі його вузлова провідність буде дорівнювати 0, що приведе до виродження матриці провідностей. Включення паралельно джерелу малої провідності дозволяє описати його рівнянням необхідного виду:

I = J – yU.

Ідеальне джерело напруги Е. Включення послідовно малого опору r дозволяє перетворити джерело напруги в джерело струму

J = E/r, з паралельно підключеним опором, тобто I = E/r-U/r = E/r- yU.

Використання розглянутих перетворень дозволяє приводити до вигляду I=f (U) рівняння будь-яких джерел ,що керуються .

Отже, сформулюємо основні правила формування рівнянь поелементно.

1. Перетворимо всі “незручні” елементи, як це було описано вище.

2. Знайдемо для нелінійних джерел провідностіта джерела струму J₀.

3. Діагональні елементи уij відповідних підматриць компонентів схеми позитивні.

4. Позадіагональні елементи підматриць y_ik компонентів схеми негативні .

5. Незалежне джерело J_j, яке втікає в j-ий вузол, входить до вектора J зі знаком плюс і з мінусом, якщо витікає.

6. Заземлений вузол в матрицю провідностей схеми не входить.

У програмі МАЕС-П рівняння ММС формуються в так званому розширеному координатному базисі РОКБ, коли незручність “незручних” компонентів автоматично усувається введенням у координатний базис вузлових потенціалів струмів цих компонентів (розширення базису) [13].