37. Точки и линии. Преобразование точек и линий

Изучение математического аппарата, лежащего в основе компьютерной графики, начинается с рассмотрения способов вывода и преобразования точек и линий. Эти способы наряду с соответствующими алгоритмами рисования используются для изображения объектов или визуализации графической информации. Возможность проводить преобразования точек и линий является фундаментом машинной графики. Нарисованный объект может быть представлен в нужном масштабе, повернут, перемещен или модифицирован в соответствии с требованиями решаемой задачи.

Точка представляется на плоскости двумя своими координатами, которые определяются как элементы матрицы размером 1´2 [х у]. В трехмерном пространстве используется матрица размером 1´3 [х  у  z].

Иначе говоря, точка может задаваться в виде вектора – столбца     в двумерном пространстве или в виде    – в трехмерном. Строку [х  у] или столбец часто называют координатным вектором. Для формирования такого вектора используется матрица – строка, т. е. множество точек, каждая из которых определяет координатный вектор в некоторой системе измерений. Данное множество хранится в компьютере в виде матрицы или массива чисел. Положением точек можно управлять путем манипулирования соответствующей матрицей. Линии, соединяющие точки, формируют отрезки, кривые и картинки.

Рассмотрим результаты умножения матрицы [х у], содержащей координаты точки Р, на матрицу общего преобразования размером  2´2:                      

Данная запись  означает, что исходные координаты точки х и у преобразуются в х^* у^* , где x^*=ax + cy, y^*=bx + by.  Представляют интерес значения х^*, у^* – координаты результирующей, преобразованной точки Р.

Прямую линию можно определить с помощью двух векторов, задающих координаты ее конечных точек. Расположение и направление линии, соединяющей две эти точки, может изменяться в зависимости от положений векторов. Реальный вид изображения линии зависит от типа используемого дисплея.