9. Математические модели и их классификация.

Математическая модель – совокупность математических объектов (чисел, векторов, множеств) и отношений между ними, которая отображает некоторые свойства проектируемого технического объекта. Например, важный класс задач – системы уравнений.

К математическим моделям предъявляются требования: точности, экономичности, универсальности.

Точность математической модели – свойства, отражающие степень совпадения, предсказанных с помощью математической модели значений параметров объекта, с истинными значениями параметров.

Количественная оценка точности модели в большинстве случаев вызывает затруднение по причинам:

1. Реальные объекты (а следовательно и их модели) характеризуются не одним, а несколькими параметрами. Отсюда вытекает векторный характер оценки точности и необходимость сведения векторной оценки и скалярной для возможности сопоставления моделей друг с другом.

2. Математические модели составляются для многократного использования при анализе разных вариантов объекта. Поскольку характер появления тех или иных свойств объекта зависит от особенностей взаимодействия со средой, то и показатели точности отображения зависит от конкретных условий функционирования объекта. В результате этого оценка точности неоднозначна.

3. Истинные значения параметров объекта обычно отождествляют с экспериментально-полученными. Однако погрешности эксперимента во многих случаях соизмеримы с погрешностями объекта.

Сведение векторной оценки точности к скалярной осуществляется обычно на основе какой-либо нормы вектора.

Экономичность математической модели оценивается прежде всего затратами машинного времени: Т_М.

Степень универсальности математической модели определяется их применимостью анализу многочисленной группы однотипных объектов, а также анализу в одном или многих режимах функционирования.

По характеру отображаемых свойств проектируемого объекта модели делят на функциональные и структурные.

Функциональные модели отображают процессы функционирования объекта. Эти модели чаще всего имеют форму уравнений. В зависимости от физической природы отображаемых явлений среди функциональных моделей различают: модели тепловые, электрические, оптические, электромеханические и другие.

Структурные модели отображают только структурные свойства объекта. Эти модели могут иметь форму матриц, графов, список векторов, взаимное расположение элементов в пространстве, наличие связей между ними в виде каналов и т.п.

Структурные модели используют в случаях, когда задачи структурного синтеза удаётся ставить и решать, абстрагируясь от физических особенностей в объекте. Например, при оформлении технической документации.